Метод прогонки () или алгоритм Томаса () используется для решения систем линейных уравнений вида , где — трёхдиагональная матрица. Представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных«Метод прогонки … представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных» (Самарский, Гулин, с. 45).. Метод прогонки был предложен Л. Томасом (в 1949 годуМаксютов М. С. Численные методы решения краевых задач: учебное издание. – М.: МГГЭУ, 2014. – 92c., c.9), И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским (в 1952 году«Прогонка, как устойчивый метод решения краевых задач с большим числом параметров, была введена и исследована И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским в 1952 г.» (Федоренко, с. 500).; опубликовано в 1960Березин, Жидков, с. 387, 506 (со ссылкой на неопубликованную рукопись Гельфанда и Локуциевского). и 1962В приложении к книге Годунова и Рябенького. годах), а также независимо другими авторами«Прогонка была „открыта“ И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским в 1952 г. именно как применение алгоритма, изложенного в школьном учебнике алгебры. Их заслугой является установление устойчивости и использование алгоритма при решении сложных задач. Примерно в то же время в связи с аналогичными работами прогонка была предложена другими авторами» (Федоренко, с. 501)..
Описание метода Система уравнений равносильна соотношению
Метод прогонки основывается на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением: где
Используя это соотношение, выразим и через и подставим в уравнение (1): , где Fi — правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать
Отсюда следует:
Из первого уравнения получим:
После нахождения прогоночных коэффициентов и , используя уравнение (2), получим решение системы. При этом,
Другим способом объяснения существа метода прогонки, более близким к терминологии конечно-разностных методов и объясняющим происхождение его названия, является следующийРешение трёхдиагональных СЛАУ методом прогонки Томаса. Куликов А. С.: преобразуем уравнение (1) к эквивалентному ему уравнению
c наддиагональной матрицей, т.е., как и в методе Гаусса, к правой верхней треугольной матрице .
Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе вычисляются компоненты матрицы и компоненты вектора , начиная с до
и
На втором этапе, для вычисляется решение:
Такая схема вычисления объясняет также английский термин этого метода «shuttle».
Для применимости формул метода прогонки достаточно свойства диагонального преобладания у матрицы A.
Применение Пример использования для решения уравнения теплопроводности
Трёхдиагональные матрицы, для обращения которых применяется метод простой прогонки, нередко возникают при решении дифференциальных уравнений двух независимых переменных методом конечных разностей. Рассмотрим для примера решение линейного одномерного уравнения теплопроводности:
где — положительная константа (число является коэффициентом температуропроводности) и — функция тепловых источниковТихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III, § 1. — Любое издание.. Искомая функция задает температуру в точке с координатой в момент времени .
Проведём дискретизацию этого уравнения на равномерной сетке с пространственным шагом и временным . При этом непрерывные функции и заменяются на их дискретные аналоги и , а пространственная и временная производная — на конечные разности:
Значения величин на слое будем считать известными (полученными в результате дискретизации начальных условий, либо решения уравнения на предыдущем временном шаге). Рассмотрим далее неявную по времени аппроксимацию, в которой значения источников тепла и тепловых потоков берутся со следующего временного слоя . Соответствующая система линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений имеет вид
Перенеся известные величины в правую часть, домножив на и сгруппировав коэффициенты, приведём СЛАУ к окончательному виду
Вид матрицы коэффициентов для конечных точек разностной сетки определяется граничными условиями и выводится отдельно. Наличие диагонального преобладания у матрицы коэффициентов гарантирует устойчивость метода прогонки при решении им данной СЛАУ.
Глобальные кубические сплайны СЛАУ с трёхдиагональными матрицами возникают при интерполяции и экстраполяции глобальными кубическими сплайнами.
Обобщение метода прогонки А. А. Абрамовым в 1963 году предложен так называемый метод периодической прогонки, который позволяет решать СЛАУ с матрицей, в которой ненулевыми являются все угловые элементы , , , . Для решения СЛАУ на первом шаге рассчитываются коэффициенты прямой прогонки:
Далее выполняется обратная прогонка (справа налево) для получения коэффициентов
Далее вычисляют искомое значение вектора по формулам
Ссылки
Пример решения
The Thomas Algorithm
Примечания
Категория:Методы решения СЛАУ