Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в .
Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел и . Торическое зацепление возникает, когда и не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю и ). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо , либо равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.
Геометрическое представление Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.
Обычно используется соглашение, что -торический узел вращается раз вокруг круговой оси тора и раз вокруг оси вращения тора. Если и не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для .
-торический узел может быть задан : , , , где и . Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой (в цилиндрических координатах).
Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв , а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания и из вышеприведённых параметризаций и .
Свойства
Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо , либо равны 1 или −1.
Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.
-торический узел эквивалентен -торическому узлу. -торический узел является обратным (зеркальным отражением) -торического узла. -торический узел эквивалентен -торическому узлу, за исключением ориентации.
Любой -торический узел может быть построен из замкнутой косы с нитями. Подходящее слово косы: . Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращенияDehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf .
Число пересечений -торического узла с задаётся формулой: . Род торического узла с равен:
Многочлен Александера торического узла равен: . Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой: .
Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.
Пусть — -мерный с диском, удалённым внутри, — -мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и — факторпространство, полученное отождествлением и вдоль границы окружности. Дополнение -торического узла является деформационным ретрактом пространства . Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:
.
Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом из этого представления).
Список Тривиальный узел, 31-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), (7,2), 819-узел (4,3), 91-узел (9,2), 10124-узел (5,3).
См. также Альтернированный узел Узел «Лапчатка»
Примечания
Литература
Ссылки 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
Torus knot renderer in Actionscript Fun with the PQ-Torus Knot
Категория:Теория узлов Категория:Алгебраическая топология