В теории узлов многочлен узла — это инвариант узла в виде многочлена, коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла.

История Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.

В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея. Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса. Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY.

Вскоре после открытия Джонса заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауффмана, инвариант узлов. Это открыло широкую дорогу для исследований в области теории зацепления узлов и статистической механике.

В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса; Виктор Васильев и создали теорию узлов. Известно, что коэффициенты упомянутых многочленов имеют конечный тип (возможно, после некоторой «подстановки переменных»).

В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с . Градуированная эйлерова характеристика Ожвата и Сабо является многочленом Александера.

Пример Запись Александера — Бриггса Многочлен Александера Многочлен Конвея многочлен Джонса Многочлен HOMFLY (Тривиальный узел) (Трилистник) (Восьмёрка) (Лапчатка) (Бабий узел) (Прямой узел)

Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите ).

Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники.

Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в даёт произведение многочленов узлов.

См. также

Полиномы узла Многочлен Александера Скобка Кауффмана Многочлен HOMFLY Полином Джонса Многочлен Кауфмана

Связанные темы Скейн-соотношение для формального определения многочлена Александера.

Примечания

Литература

Категория:Инварианты узлов Категория:Многочлены