В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.
Формулировка теоремы
Пусть дан треугольник с вершинами , и . Пусть , и — вершины треугольника отражений , получаемого зеркальным отражением каждой вершины относительно противоположной стороны. Пусть — центр описанной окружности . Рассмотрим 3 окружности , и , проходящие через точки , и соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке , которая является инверсией относительно описанной вокруг окружности точки Косниты, которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника .
Общая точка является точкой Гилберта треугольника , которая перечислена как в Энциклопедии центров треугольника.
История Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году, и доказательство представлено ими в 1941 году. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом.
Обобщение Горматига Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.
Как и прежде, пусть , и — вершины треугольника , и — центр описанной окружности. Пусть — ортоцентр треугольника , то есть пересечение трёх высот. Пусть , и — три точки на отрезках , и , такие что . Рассмотрим 3 прямые , и , перпендикулярные , и через точки , и соответственно. Пусть , и — точки пересечения перпендикуляров с прямыми , и соответственно.
Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки , и лежат на одной прямой . Пусть — проекция центра описанной окружности на прямую , а — точка на , такая что . Горматиг доказал, что является инверсией относительно описанной вокруг треугольника окружности изогонального сопряжения точки на прямой Эйлера , такой что .
Примечания
Категория:Евклидова геометрия Категория:Теоремы геометрии М Категория:Геометрия треугольника