Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения , связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней уравнение не имеет решения в натуральных числах .

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер () и Томас Р. Паркин () нашли для контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера:

Для первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году. Наименьшее решение, найденное в том же году () таково:

Однако для гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза В 1967 году Ландер, Паркин и предположили, что уравнение

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая и отсутствие решений для .

Поиск решений уравнений для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для , но и для . Поиском решений для различных занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n По состоянию известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n: Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

(4, 2, 2) , бесконечно много решений.

(4, 1, 3) , бесконечно много решений.

(5, 1, 4) , известно 2 решения.

(5, 2, 3) , известно 2 решения.

(6, 3, 3) , бесконечно много решений.

(8, 3, 5) , известно 1 решение.

(8, 4, 4) , известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)

k = 3 .

k = 4 ()

k = 5 ()

k = 6 Решения неизвестны.

k = 7 ()

k = 8 ()

k ≥ 9 Решения неизвестны.

Примечания

Литература

Ссылки EulerNet Гипотеза Эйлера Equal Sums of Powers - Tables Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities

Euler’s Conjecture at library.thinkquest.org Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle

Категория:Диофантовы уравнения Категория:Математические гипотезы Категория:Теория чисел