Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор и линейный оператор , для которых оператор является расширением оператора : . Если операторы и определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если . В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими. В общем случае равенство неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор не будет перестановочен с , если определён не на всём пространстве — тогда операторы и будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: или .
Свойства Если оператор перестановочен с и перестановочен с , то также перестановочен с и . Если перестановочен с и перестановочен с , то операторы и перестановочны с . Если перестановочен с и существует , то перестановочен с . Если перестановочен с каждым из операторов , то перестановочен с . Если каждый из операторов перестановочен с , то перестановочен с в предположении, что ограничен, а замкнут. Если перестановочен с и сопряжённый оператор существует, то перестановочен с .
Случай конечномерного пространства В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: . Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы , перестановочные с данной матрицей . Все решения задачи Фробениуса имеют вид
где — произвольная матрица, перестановочная с , — матрица, приводящая к нормальной жордановой форме : . Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:
где — степени непостоянных инвариантных многочленов матрицы .
Если линейные операторы в конечномерном пространстве попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство на инвариантные относительно всех операторов подпространства:
так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов был степенью неприводимого многочлена.
Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием.
См. также Полная система коммутирующих наблюдаемых
Примечания
Литература
Категория:Теория операторов