Обратный оператор к оператору — оператор, который каждому из множества значений оператора ставит в соответствие единственный элемент из области определения оператора , являющийся решением уравнения . Если оператор имеет обратный, то есть уравнение имеет единственное решение при любом из , то называется обратимым. Обратный оператор обозначается .
Определение и условия существования Другое определение: оператор называется обратным к оператору , если , где — единичный оператор. Если выполняется только соотношение или только то оператор называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор является обратимым. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом.
Оператор обратим, если он отображает на взаимно однозначно, то есть при различных принимает различные значения . Если оператор — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы выполнялось только при .
Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве линейный оператор
имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: .
Свойства
Оператор , обратный к линейному оператору, также линеен. , — сопряжённый оператор.
Теоремы об обратном операторе
Теорема Банаха
Пусть — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство на банахово пространство . Тогда обратный оператор ограничен.
Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение банахова пространства на (всё) банахово пространство открыто.
Достаточные условия существования обратного оператора Пусть линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство на линейное нормированное пространство , удовлетворяет для любого условию
где — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор . Пусть — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства в банахово пространство и — линейный ограниченный оператор из в такой, что . Тогда оператор имеет ограниченный обратный, причём . Пусть — банахово пространство, — тождественный оператор в , а — такой линейный ограниченный оператор, отображающий в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде ряда .
Примеры
Преобразование Фурье
можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье .
Операторы интегрирования и дифференцирования Для оператора интегрирования
действующего в пространстве непрерывных функций , обратным будет оператор дифференцирования:
определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что .
Оператор Штурма-Лиувилля Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что , обратным оператором является интегральный оператор
где — функция Грина. — линейный ограниченный оператор в .
Интегральный оператор Пусть
— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций . При достаточно малых значениях параметра оператор (где — единичный оператор) имеет ограниченный обратный , где — резольвента ядра . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения
при любом свободном члене .
Обратный оператор в конечномерном пространстве Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица.
См. также Линейное отображение Обратная функция Изоморфизм Банахово пространство Линейный непрерывный оператор
Примечания
Литература
Категория:Теория операторов Категория:Функциональный анализ