Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор такой, что для любого из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение . Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут , если оператор  — положительный, и , если  — положительный или нулевой.

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым, и его спектр лежит на положительной полуоси , причём это необходимое и достаточное условие. Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным операторомСтрого говоря, в случае неограниченного оператора неравенство в определении берётся для всех из области определения симметричного оператора , которая плотна во всём гильбертовом пространстве..

Свойства Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства. Если оператор и вещественное число , то . Если и обратный оператор существует, то . для любого линейного оператора . В частности, для любого самосопряжённого оператора . Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования. Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор. Для положительного оператора и любых элементов гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца: .

Квадратный корень У каждого ограниченного положительного оператора существует единственный положительный квадратный корень, то есть такой оператор , что . Если оператор обратим, то тоже обратим. Квадратный корень перестановочен с любым оператором, перестановочным с .

Полярное разложение

Любой ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением , где  — положительный оператор,  — частичная изометрия. Если  — нормальный оператор, то оператор в полярном разложении унитарный.

Отношение порядка На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка: или , если оператор  — положительный, иначе говоря, для любого из гильбертова пространства. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами. Если и , то . Если и , то . Если и , то . Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору.

Полуограниченный оператор Симметричный оператор называется полуограниченным снизу, если существует действительное число такое, что

для любого из области определения оператора ; наибольшее из всех значений , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху, и его верхняя грань.

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор посредством одной из следующих формул:

где  — единичный оператор.

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора , причём оператор будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и .

Случай конечномерного пространства Симметрический оператор (оператор с симметричной матрицей) в евклидовом пространстве называется неотрицательным, если для любого . В этом случае квадратичная форма называется неотрицательной, а матрица оператора  — неотрицательно определённой.

Симметрический оператор называется положительно определённым, если для любого вектора из . В этом случае квадратичная форма и матрица оператора называются положительно определёнными.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра.

Пример Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

где

если его рассматривать в пространстве , отнеся к области определения функции , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

где  — некоторая постоянная; функции также предполагаются непрерывными. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что . Если , то оператор положительный.

См. также Эрмитов оператор Квадратичная форма

Примечания

Литература

Категория:Теория операторов