Ско́бки Лагра́нжа — бинарная операция в гамильтоновой механике, тесно связанная с другой бинарной операцией, скобками Пуассона. Скобки Лагранжа были введены Лагранжем в 1808—1810 годах для математических выражений в классической механике. В отличие от скобок Пуассона, в настоящее время скобки Лагранжа практически не используются.
Определение Пусть () — система канонических координат в фазовом пространстве. Если каждую из них выразить как функцию двух переменных, и , то скобки Лагранжа от и определяются формулой:
Эта формула совпадает с определением скобок Пуассона с точностью до перестановки числителей и знаменателей в операторах частных производных.
Свойства
Скобки Лагранжа (как и скобки Пуассона) антикоммутативны, что очевидно непосредственно из определения:
Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат . Если является другой системой канонических координат, то
является каноническим преобразованием, так что скобки Лагранжа являются инвариантом преобразования в том смысле, что
Вследствие этого индексы, показывающие канонические координаты, часто опускаются.
Если является симплектическим пространством в -мерном фазовом пространстве и образует систему координат в , то канонические координаты могут быть выражены как функции от координат и матрица скобок Лагранжа
представляет компоненты , рассматриваемые как тензор в координатах . Эта матрица является обратной к матрице, образованной скобками Пуассона
в координатах .
Как следствие предыдущих свойств, координаты в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид:
См. также Лагранжева механика Гамильтонова механика
Литература
Ссылки
Категория:Билинейные операторы Категория:Гамильтонова механика