Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.
Формулировка Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией и потенциальной энергией . Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы .
Доказательство Рассмотрим вариацию . Воспользуемся равенствами и . Получим . Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: . Первый член обращается в нуль вследствие вариаций на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия
Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем . С учётом равенств , получим правильные уравнения движения . Этим доказывается справедливость принципа .
Примечания
Литература
Мопертюи принцип Категория:Теоретическая механика Категория:Вариационное исчисление Мопертюи Мопертюи