Диаграмма Коксетера — Дынкина (или диаграмма Коксетера, граф Коксетера, схема Коксетера) — это граф с помеченными числами рёбрами (называемыми ветвями), представляющими пространственные связи между набором зеркальных симметрий (или гиперплоскостей зеркальных отражений). Диаграмма описывает калейдоскопичное построение — каждая «вершина» графа представляет зеркало (грань фундаментальной области), а метки ветвей задают величину двугранного угла между двумя зеркалами (на гребне фундаментальной области, то есть на грани с размерностью ). Непомеченные ветви неявно подразумевают порядок 3.

Каждая диаграмма представляет группу Коксетера, и группы Коксетера классифицируются ассоциированными с ними диаграммами.

Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Коксетера и отличаются от них в двух отношениях — во-первых, ветви с меткой «4» и выше являются ориентированными, в то время как в диаграммах Коксетера они неориентированные, во-вторых, диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному () ограничению, а именно, в качестве меток разрешены только 2, 3, 4 и 6. Диаграммы Дынкина соответствуют системе корней и используются для их классификации, а потому соответствуют полупростым группам Ли.

Описание Ветви диаграммы Коксетера — Дынкина помечаются рациональными числами p, соответствующими двугранным углам 180°/p. Если p = 2, угол равен 90° и зеркала никак не влияют друг на друга, так что ветвь может быть исключена из диаграммы. Если ветвь не помечена, предполагается, что p = 3, что соответствует углу 60°. Два параллельных зеркала имеют ветвь, помеченную знаком «∞». В принципе, n отражений могут быть представлены полным графом, в котором все n(n − 1) / 2 ветвей нарисованы. На практике, почти все интересные комбинации отражений содержат некоторое число прямых углов, так что соответствующие ветви могут быть исключены.

Диаграммы могут быть обозначены согласно их структуре графа. Первыми формами, которые изучал Людвиг Шлефли, были симплексы, определяемые набором взаимноперпендикулярных рёбер. Эти симплексы Шлефли назвал . Ортосхемы возникают в различных контекстах, а особенно при рассмотрении правильных политопов и . Плагиосхемы — это симплексы, представленные ветвящимися графами, а циклосхемы — симплексы, представленные циклическими графами.

Матрица Грама (Шлефли)

Любая диаграмма Коксетера имеет соответствующую матрицу Шлефли с элементами

где  — порядок ветки между парами отражений. Как матрица косинусов, она также называется матрицей Грама по имени Йоргена Грама. Все матрицы Грама группы Коксетера симметричны, поскольку их корневые векторы нормализованы. Они близко связаны с матрицами Картана, которые используются в подобном контексте, но для ориентированных графов диаграмм Дынкина для случаев и которые, в общем случае, несимметричны.

Определитель матрицы Шлефли называется шлефлианом (он же грамиан) и его знак определяет, является ли группа конечной (положительный определитель), аффинной (нулевой) или неопределённой (отрицательный). Это правило называется критерием Шлефли.

Собственные значения матрицы Грама определяют, является ли группа Коксетера конечного типа (все значения положительны), аффинного типа (все неотрицательны, по меньшей мере одно значение равно нулю) или неопределённого типа (все остальные случаи). Неопределённый тип иногда далее разбивается на подтипы, например, на гиперболические и остальные группы Коксетера. Однако имеется много неэквивалентных определений гиперболических групп Коксетера. Мы используем следующее определение: Группа Коксетера с соответствующей диаграммой является гиперболической, если она ни конечного, ни аффинного типов, но любая связная поддиаграмма имеет либо конечный, либо аффинный тип. Гиперболическая группа Коксетера компактна, если все её подгруппы конечны (то есть имеют положительные определители) и паракомпактна, если все её подгруппы конечны или аффинны (то есть имеют неотрицательные определители).

Конечные и аффинные группы также называются эллиптическими и параболическими соответственно. Гиперболические группы называются также (), который перечислил компактные гиперболические группы в 1950-м, а паракомпактные группы — группами ( [kɔ'syl]), или квазиланнеровыми группами. Встречаются и другие названия. Так, в статье Максвелла конечные группы называются положительными, а аффинные — евклидовыми.

Группы Коксетера ранга 2 Для ранга 2 тип группы Коксетера полностью определён определителем матрицы Грама, поскольку он просто равен произведению его собственных значений: конечный тип (положительный определитель), аффинный тип (нулевой определитель) или гиперболический тип (отрицательный определитель). Коксетер использует эквивалентную , которая перечисляет последовательности порядков веток вместо графических диаграмм узел-ветвь. ТипКонечнаяАффиннаяГиперболическаяГеометрия…Коксетер[ ][p][∞][∞][iπ/λ]порядок24682p∞Прямые отражения раскрашены соответственно узлам диаграммы Коксетера.Фундаментальные области выкрашены в альтернативные цвета. + Диаграммы группы Коксетера ранга 2ПорядокpГруппаДиаграмма КоксетераМатрица ГрамаОпределитель(4-a21*a12)Конечная (Определитель>0)2I2(2) = A1xA143I2(3) = A234I2(4) = B225I2(5) = H2=

~1.381966011256I2(6) = G218I2(8)~0.5857864376310I2(10)=

~0.3819660112512I2(12)~0.26794919243pI2(p)[p]Аффинная (Определитель=0)∞I2(∞) = = [∞]0Гиперболическая (Определитель≤0)∞[∞]0∞[iπ/λ]

Геометрическое представление Диаграмму Коксетера — Дынкина можно рассматривать как графическое описание фундаментальной области отражений. Зеркалом (множеством неподвижных точек отражения) является гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. (В двумерном пространстве зеркалом служит прямая, а в трёхмерном — плоскость.)

Ниже показаны фундаментальные области двумерных и трёхмерных евклидовых групп, а также двумерных сферических групп. Для каждой группы диаграмма Коксетера может быть выведена путём определения гиперплоскостей и разметки их связей, игнорируя при этом двугранные углы в 90 градусов (порядок 2).

Группа Коксетераx[4,4][∞4,∞][6,3][(3,3,3)] = [3]Фундаментальная областьДиаграмма Коксетера — Дынкина

Группы Коксетера на евклидовой плоскости с соответствующими диаграммами. Зеркала помечены как узлы графа R1, R2, и т. д. и раскрашены соответственно порядку отражения. Отражения на 90 градусов ничего не меняют, а потому удалены из диаграммы. Параллельные отражения отмечены символом ∞. Призматическая группа x показана как удвоение , но она также может быть создана как прямоугольные области, полученные из удвоения треугольников . является удвоением треугольника .

+ Некоторые гиперболические калейдоскопыГруппа Коксетера[n,4][∞n,∞][n,3][(n,3,3)]Фундаментальная областьДвойственный граф (полная схема Коксетера)Диаграмма Коксетера — Дынкинаn=5,6...n=3,4...n=7,8...n=4,5

Многие группы Коксетера на гиперболической плоскости могут быть распространены из евклидова случая как серии гиперболических решений.

Группы Коксетера в трёхмерном пространстве с соответствующими диаграммами. Зеркала (треугольные грани) помечены противоположными вершинами 0..3. Ветви выкрашены соответственно порядку отражений. заполняет 1/48 часть куба. заполняет 1/24 часть куба. заполняет 1/12 часть куба.Группы Коксетера на сфере с соответствующими диаграммами. Одна фундаментальная область выделена жёлтым цветом. Вершины области (и ветви графа) выкрашены соответственно порядку отражения.

Конечные группы Коксетера См. также семейства многогранников для таблицы однородных многогранников, связанных с этими группами. Для каждой группы приведены три различных обозначения — буквенно-цифровое обозначение, набор цифр в скобках и диаграмма Коксетера. Разветвлённые группы Dn являются половинными или знакопеременными версиями обычных групп Cn. Для разветвлённых групп Dn и En приведены обозначения с верхними индексами [3a,b,c], где числа a,b и c задают количество сегментов в каждой из трёх ветвей.

+ Связанные графы Дынкина с рангами от 1 до 9РангПростые группы ЛиИсключительные группы Ли1A1=[]2A2=B2=D2=A1xA1G2=H2=I2[p]3A3=B3=[3,4]D3=A3E3=A2A1 F3=B3H3 4A4=B4=[32,4]D4=[31,1,1]E4=A4F4H4 5A5=B5=[33,4]D5=[32,1,1]E5=D56A6=B6=[34,4]D6=[33,1,1]E6=[32,2,1]7A7=B7=[35,4]D7=[34,1,1]E7=[33,2,1]8A8=B8=[36,4]D8=[35,1,1]E8=[34,2,1]9A9=B9=[37,4]D9=[36,1,1]10+........

Приложение для однородных политопов

Диаграммы Коксетера — Дынкина могут явно перечислить почти все классы однородных многогранников и однородных мозаик. Каждый однородный многогранник с простой зеркальной симметрией (все они, за исключением нескольких специальных случаев, имеют простую зеркальную симметрию) могут быть представлены диаграммами Коксетера — Дынкина с перестановками меток. Каждый однородный многогранник можно получить, используя такие зеркала и одну генерирующую точку — отражения создают в результате симметрии новые точки, затем можно определить рёбра многогранника между точками и их зеркальными отражениями. Грани можно построить при получении цикла из рёбер и т. д. Для задания генерирующей вершины один или более узлов помечаются кружками, что означает, что вершина не находится на зеркале(-ах), представленных помеченными кружками узлами. (Если два или более зеркала помечены, вершина располагается на равноудалённом расстоянии от них.) Зеркало активно (создаёт отражения) только для точек, не лежащих на нём. Диаграмма должна иметь по меньшей мере один активный узел для представления многогранника.

Все правильные многомерные многогранники, представленные символом Шлефли (p, q, r, …), могут иметь фундаментальные области, представленные набором n зеркал с соответствующей диаграммой Коксетера — Дынкина в виде последовательности узлов и ветвей, помеченных p, q, r, … с первым обведённым кружком узлом.

Однородные многогранники с одним кружком соответствуют генерирующим точкам в углах симплекса фундаментальной области. Два кружка соответствуют рёбрам симплекса и имеют свободу выбора, но только середина приводит к однородному решению с одинаковыми длинами рёбер. В общем случае генераторы с k кружками являются (k-1)-мерными гранями симплекса. Если все узлы помечены кружками, генерирующая точка находится внутри симплекса.

Другой элемент разметки выражает специальный случай незеркальной симметрии однородных многогранников. Эти случаи существуют как зеркальной симметрии многогранников. В этом элементе разметки отсутствует центральная точка помеченного кружком узла, который тогда называется дыркой, и означает такой узел удалённую альтернирующую вершину. Полученный многогранник будет иметь подсимметрии исходной группы Коксетера. Усечённая альтернация называется обрезком. Отдельный узел представляет отдельное зеркало. Соответствующая группа обозначается A1. Кружок вокруг узла приводит к образованию отрезка, перпендикулярного зеркалу, и он обозначается как {}. Два несвязанных узла представляют два перпендикулярных зеркала. Если оба узла обведены кружком, может быть создан прямоугольник, или квадрат, если точки расположены на одинаковом расстоянии от обоих зеркал. Два узла, соединённых ветвью порядка n, могут создать n-угольник, если точка находится на одном из зеркал, и 2n-угольник, если точка не лежит ни на одном из зеркал. Эти два узла образуют группу I1(n). Два параллельных зеркала могут представлять группу бесконечного многоугольника I1(∞), обозначаемую также Ĩ1. Три зеркала в виде треугольника образуют образы, которые наблюдаются в традиционном калейдоскопе и такая конфигурация может быть представлена тремя узлами, соединёнными в треугольник. Периодические примеры будут иметь ветви, помеченные как (3 3 3), (2 4 4) и (2 3 6), хотя последние два могут быт нарисованы как прямые (удалив ветви 2). Они генерируют . Три зеркала может создать однородный многогранник, включая треугольники Шварца, получаемые из рациональных чисел. Три зеркала, где одно зеркало перпендикулярно двум другим, могут создать однородные призмы.