Между функциями распределения и множеством их характеристических функций существует взаимно однозначное соответствие.
В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.
Первая и вторая теоремы Хелли
Первая теорема Хелли Из всякой последовательности функций распределения можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.
Вторая теорема Хелли Если — непрерывная ограниченная функция на прямой и то
Доказательство первой теоремы Хелли Пусть — всюду плотное на прямой счетное множество.
Из ограниченной последовательности выбираем сходящуюся подпоследовательность , предел которой обозначим
Из ограниченной последовательности выбираем сходящуюся подпоследовательность и т. д.
Далее выбираем диагональную подпоследовательность , для которой для любой точки
По лемме отсюда вытекает
Лемма Если на всюду плотном на прямой множестве , то
Замечание может не быть функцией распределения. Например, если при и при то
Доказательство второй теоремы Хелли Пусть — точки непрерывности .Докажем сначала, что . Пусть . Разделим точками непрерывности функции на такие отрезки , что для точек .
Это сделать можно, так как равномерно непрерывна на , а точки непрерывности расположены всюду плотно.
Определим ступенчатую функцию.
на .
Тогда
где .
При последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует
Для доказательства
выберем таким, чтобы и и чтобы точки были точками непрерывности
Тогда, так как можно выбрать таким, что при и
Оценим разность
На основании заключаем, что правая часть
может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.
См. также Прямая и обратная предельная теорема
Литература
Категория:Теория вероятностей Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики