Геометрические закономерности в природе проявляются в виде повторяющихся форм и их сочетаний (паттернов). Они проявляются в различных природных объектах и явлениях, а иногда могут быть описаны при помощи математических моделей. Повторяющиеся элементы в природе принимают различные формыЩекалева М. А. — Бионическая практика Учебно-методическое пособие. и проявляются в симметрии, деревьях, спиралях, изгибах рек, волнах, пене, геометрических узорах, трещинах, полосках и т. д. Уже первые древнегреческие философы, такие как Платон, Пифагор и Эмпедокл, изучали такие закономерности, пытаясь объяснить порядок в природе. Однако потребовались века, чтобы прийти к современному пониманию видимых закономерностей повторений.

В XIX веке бельгийский физик Жозеф Плато изучал , что позволило ему выработать концепцию минимальной поверхности. Немецкий биолог и художник Эрнест Геккель нарисовал сотни морских организмов, чтобы доказать наличие у них симметрии. Шотландский биолог Дарси Томпсон первым занялся изучением закономерностей роста растений и животных, доказывая, что простые уравнения могут объяснить их спиральный рост. В XX веке английский математик Алан Тьюринг предсказал механизмы морфогенеза, связанные с возникновением узоров в виде полос, пятен и спиралей. Венгерский биолог Аристид Линденмайер и франко-американский математик Бенуа Мандельброт показали, что с помощью математических фракталов можно создать структуры, связанные с ростом растений.

Математика, физика и химия объясняют закономерности в природе на разных уровнях. Закономерности в живой природе объясняются биологическими процессами естественного и полового отбора. В исследованиях используется компьютерное моделирование для воспроизведения широкого спектра закономерностей.

История

Первые древнегреческие философы пытались описать и объяснить порядок в природе, предугадывая современные идеи. В своих работах о закономерностях природы Платон (около 427—347 до н. э.) писал о существовании универсалий. Он предполагал, что они состоят из идеальных форм (, форма), а физические объекты — это не более чем несовершенные копии. Таким образом, цветок может быть примерно круглым, но это никогда не будет идеальный круг. Пифагор рассматривал закономерности в природе, так же как и гармонии в музыке, берущими начало из числа, как первоначала всего сущего. Эмпедокл в какой-то степени предвосхитил эволюционное объяснение структуры организмов ДарвинаAristotle reports Empedocles arguing that, «[w]herever, then, everything turned out as it would have if it were happening for a purpose, there the creatures survived, being accidentally compounded in a suitable way; but where this did not happen, the creatures perished.» The Physics, B8, 198b29 in Kirk, et al., 304)..

В 1202 году Леонардо Фибоначчи (около 1170—1250) открыл последовательность чисел Фибоначчи западному миру в своей «Книге абака»Singh, Parmanand. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. . Фибоначчи привёл (несуществующий) биологический пример численного роста теоретической популяции кроликов. В 1917 году Дарси Томпсон (1860—1948) опубликовал свою книгу «О росте и форме». Его описание взаимосвязи филлотаксиса (расположения листьев на стебле растения) и чисел Фибоначчи (математическое отношение закономерностей спирального роста в растениях) стало классическим. Он показал, что простые уравнения могут описать все с виду сложные закономерности спирального роста рогов животных и раковин моллюсковAbout D’Arcy . D' Arcy 150. University of Dundee and the University of St Andrews. Retrieved 16 October 2012..

Бельгийский физик Жозеф Плато сформулировал математическую задачу существования минимальной поверхности с заданной границей, которую и назвали в честь него. Он активно изучал мыльные плёнки, сформулировал законы Плато, которые описывают структуры, образованные плёнками в пеноматериалахStewart, Ian. 2001. Pages 108—109..

Немецкий психолог Адольф Цейзинг утверждал, что золотое сечение наблюдается в расположении частей растений, скелетов животных и в расположении их вен и нервов, а также в геометрии кристаллов.

Эрнест Геккель (1834—1919) издал книгу с подробными красочными изображениями морских организмов, в частности радиолярий, подчеркивая их симметрию для поддержки своей псевдодарвиновской теории эволюции.

Американский фотограф Уилсон Бентли (1865—1931) сделал первый микроснимок снежинки в 1885 году.

В 1952 году Алан Тьюринг (1912—1954), получивший широкую известность за его работы в области вычислительной техники и криптографии, написал статью «Химические основы морфогенеза», в которой проанализировал механизмы, которые необходимы для создания закономерностей в живых организмах, так называемый процесс морфогенеза. Он предсказал колебания химических реакций, в частности, реакции Белоусова-Жаботинского. Тьюринг предлагал, что механизмы активатор-ингибитор могут генерировать полосатость и пятнистость животных и способствовать закономерностям спирального типа, наблюдаемым в расположении листьев растений (филлотаксисе).

В 1968 году венгерским биологом-теоретиком Аристидом Линденмайером (1925—1989) была разработана L-система — формальная грамматика, которая может быть использована для моделирования роста растений с помощью фракталов. L-системы обладают символьным алфавитом, который может объединять символы с помощью порождающих правил для построения более длинных строк символов, и механизм перевода сгенерированных строк в геометрические структуры. В 1975 году, после столетий медленного развития математического аппарата закономерностей Лейбницем, Кантором, Кохом, Серпинским и другими, Бенуа Мандельброт написал знаменитую статью под названием «Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность», в которой математическая мысль кристаллизовалась в понятии фрактал.

Причины

Живые организмы, такие как орхидеи, колибри и хвост павлина обладают абстрактными красивыми формами узоров и окраской, которые трудно повторить художникамForbes, Peter. All that useless beauty. The Guardian. Review: Non-fiction. 11 February 2012.. Красота, которую люди видят в природе, имеет обоснование на разных уровнях, в частности в математике, которая описывает физическую форму закономерностей, и в среде живых организмов, здесь правит естественный отбор, определяющий как будут развиваться закономерности.

В математике стремятся обнаружить и объяснить абстрактные закономерности и структуры всех видовSteen, L.A.. The Science of Patterns. Science, 240: 611—616, 1998. Summary at ascd.org . Видимые закономерности в природе объясняются теорией хаоса, фракталами, логарифмическими спиралями, топологией. Например, L-системы позволяют построить убедительные модели разных закономерностей роста деревьев.

В законах физики применяется абстрактная математика к реальному миру, зачастую идеализируя его. Например, кристалл считается идеальным, когда в нём нет структурных дефектов, таких как дислокации, и когда он полностью симметричен. Точное математическое совершенство может только аппроксимировать (приближать) реальные объектыTatarkiewicz, Władysław. Perfection in the Sciences. II. Perfection in Physics and Chemistry, Dialectics and Humanism, vol. VII, no. 2 (spring 1980), p. 139.. Видимые закономерности в природе подчиняются физическим законам, например, меандры описываются гидродинамикой.

В биологии естественный отбор может способствовать развитию закономерностей у живых организмов по нескольким причинам, таким как маскировка, а также из-за различных сигнальных окрасок, включая мимикрию и симбиозPoulin, R.; Grutter, A.S. (1996) «Cleaning symbiosis: proximate and adaptive explanations». Bioscience 46(7): 512—517. . У растений форма, цвет и тип цветка, например, у лилии, может меняться с целью привлечения насекомых для опыления (некоторые растения могут опыляться ветром, птицами и летучими мышами). Европейских медоносных пчёл и других насекомых-опылителей привлекают цветы с радиальными цветными узорами и узорами в виде полос (некоторые видны только в ультрафиолетовом свете), который выступает в качестве маяка, видного с большого расстояния; также их привлекает запах, сладкая пыльца и нектар.

Типы закономерностей

Симметрия

Симметрия распространена в живой природе. Среди животных в основном распространена двусторонняя или зеркальная симметрия, так же как и у листьев растений и некоторых цветов, таких как орхидея. Растения часто обладают радиальной или вращательной симметрией, как и большинство цветов, и некоторые животные, например морские актинии. Пентасимметрия встречается у иглокожих, в эту группу входят морские звёзды, морские ежи и морские лилии.

Среди неживой природы поразительной шестикратной симметрией обладают снежинки: каждая из них уникальна, их форма — это результат изменения условий в процессе кристаллизации снежинки, с практически одинаковым узором на каждой из шести сторон. В целом кристаллы обладают разными типами симметрии и внешним видом: они могут быть кубическими или октаэдрическими, но настоящие кристаллы не могут обладать пентасимметрией, в отличие от квазикристаллов. Вращательная симметрия встречается в неживой природе в различных масштабах, начиная с коронообразной формы следа от падающей на поверхность воды капли до сферических форм колец планеты Сатурн.

Симметрия может иметь различные причины и основания. В биологии о радиальной симметрии говорят, когда через трёхмерное существо проходят одна или более осей симметрии. При этом радиальносимметричные животные могут и не иметь плоскостей симметрии. Так, у сифонофоры Velella velella имеется ось симметрии второго порядка и нет плоскостей симметрииБеклемишев В. Н. Основны сравнительной анатомии беспозвоночных. (в 2-х томах). Т.1. М., «Наука», 1964.. Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии. У иглокожих радиальная симметрия вторична: их личинки двустороннесимметричны, а у взрослых животных наружная радиальная симметрия нарушается наличием мадрепоровой пластинки. Ранние иглокожие были зеркально симметричными, как и их личинки до сих пор. Самрелл и Рэй утверждают, что потеря старого типа симметрии произошла и по экологическим, и по эволюционным причинам .

Кроме типичной радиальной симметрии существует двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, у гребневиков). Если плоскость симметрии только одна, то симметрия билатеральная (такую симметрию имеют животные из группы Bilateria).

У цветковых растений часто встречаются радиальносимметричные цветки: 3 плоскости симметрии (водокрас лягушачий), 4 плоскости симметрии (лапчатка прямая), 5 плоскостей симметрии (колокольчик), 6 плоскостей симметрии (безвременник). Цветки с радиальной симметрией называются актиноморфными, цветки с билатеральной симметрией — зигоморфными.

У животных появление билатеральной симметрии в ходе эволюции связано с ползанием по субстрату (первично — по дну водоёма), в связи с чем появилась спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела, хотя внутренние органы могут быть несимметричны. В целом среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм, чем у сидячих. Билатеральная симметрия свойственна всем достаточно высокоорганизованным животным, кроме иглокожих. В других царствах живых организмов билатеральная симметрия свойственна меньшему числу форм. Среди протистов она характерна для дипломонад (например, лямблий), некоторых форм трипаносом, бодонид, раковинок многих фораминифер. У растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части — листья или цветки.

Растения, фракталы

Фракталы — это бесконечно самоподобные циклические математические конструкции, обладающие фрактальной размерностью.