Эллиптические функции Якоби — набор основных эллиптических функций комплексной переменной и вспомогательных тета-функций, построенный в результате решения задачи обращения эллиптических интегралов к нормальной форме Лежандра (Якоби, 1827). Функции имеют полезные аналогии с тригонометрическими функциями, что отражается в их обозначении (например, и , и ).

Хотя имеют большое прикладное значение (в частности для уравнения маятника), но в отличие от эллиптических функций Вейерштрасса не позволяют построить достаточно общую теорию. Эллиптические функции Якоби имеют в основном параллелограмме по два простых полюса и два простых нуля. Существует эллиптическая функция, имеющая в основном параллелограмме один полюс второго порядка и два простых нуля; это — эллиптическая функция Вейерштрасса. Более полезны эллиптические функции Якоби, имеющие по два простых полюса и по два простых нуля в каждом основном параллелограмме. Каждая из этих функций в основном параллелограмме принимает любое значение в точности два раза.

Эллиптические функции Якоби — функции двух переменных, при этом возможны различные формулировки и системы обозначений. Первую переменную чаще дают в терминах амплитуды , или обычно в терминах . Вторую переменную дают как в терминах параметра , или как эллиптический модуль , где , или в терминах модулярного угла , где .

Определение через обратные функции к эллиптическим интегралам Наиболее простое определение задаёт эллиптические функции как обратные к неполному эллиптическому интегралу первого рода: . В этом случае амплитуда определяется как угол , эллиптические синус и косинус определяются как тригонометрический синус и косинус амплитуды: , , и дельта-амплитуда: .

Значение является свободным параметром, который полагается реальным в диапазоне , и таким образом эллиптические функции являются функциями двух аргументов: амплитуды и параметра .

Определение в терминах тета-функций Эквивалентно эллиптические функции Якоби можно определить в терминах тета-функций, для этого определяется как , и соответственно как (тета-константы) тогда эллиптический модуль равен . Полагая , получается: , , .

Поскольку функции Якоби определяются в терминах эллиптического модуля , необходимо найти обратные к ним и выразить в терминах . Дополнительный модуль вводится как , как функция выражается следующим образом:

Определяется ном как и вводится обозначение: , далее раскладывется в ряд по степеням нома :

Обращение ряда даёт:

Поскольку можно рассмотреть частный случай, когда мнимая часть больше или равна , то можно заметить, что значение меньше или равно ; для таких малых значений вышеприведённый ряд сходится очень быстро, и это позволяет легко найти подходящее значение для .

Другие функции Изменением порядка двух букв в названии функций обычно обозначают обратные к трём функциям приведённых выше: , , .

Отношения трёх главных функций обозначают первой буквой числителя, следующей перед первой буквой знаменателя: , , , , , .

Более краткая форма: ,

где все буквы , , и являются любыми буквами , , , (при этом ).

Дополнительные теоремы Функции удовлетворяют двум алгебраическим соотношениям , .

Тройка (, , ) параметризует эллиптическую кривую, которая является пересечением двух квадрик определённой вышеупомянутыми двумя уравнениями. Мы теперь можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью дополнительных формул для функций Якоби: , , .

Тригонометрические и гиперболические функции, как частный случай эллиптических Если , то: . Отсюда: , далее:

и

Таким образом, при эллиптические функции вырождаются в гиперболические.

Если , то: , откуда следует: , а также: , .

Таким образом, при эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.

Соотношение между квадратами функций Для квадратов этих функций верны следующие соотношения: . , , ,

где и .

Дополнительные равенства для квадратов можно получить если заметить, что , а также , где , ,  — любые буквы , , , и .

Ном Пусть ном равен и пусть аргумент — . Тогда функции можно представить в виде сумм Ламберта: , , .

Решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Производные трёх основных эллиптических функций Якоби записываются в виде: , , .

Для заданного () уравнения, решениями которых являются эллиптические функции Якоби: является решением уравнения и ; является решением уравнения и ; является решением уравнения и .

Литература

See Chapter 16

или Москва: УРСС, 2010

Ссылки

Категория:Эллиптические функции