ДодекододекаэдрТипОднородный звёздчатый многогранникЗвёздчатая формаПравильного додекаэдраЭлементыF = 24, E = 60, V = 30 ХарактеристикаЭйлера= -6 Рёбер по граням12{5}+12{5/2}Символ Шлефли {5/2,5}Символ Витхоффа 2 |55/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 55/3 5/4Группа симметрии Ih, [5,3], (*532)ОбозначенияU36,C45, W73 5.5/2.5.5/2(Вершинная фигура) Среднийромботриаконтаэдр двойственный многогранник
Додекододекаэдр — однородный звёздчатый многогранник, имеющий номер U36.
Построение Витхоффа Многогранник имеет четыре построения Витхоффа из четырёх семейств треугольников Шварца: 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4, которые дают одинаковые результаты. Таким же образом ему можно задать четыре расширенных символа Шлефли: t1{5/2,5}, t1{5/3,5}, t1{5/2,5/4} и t1{5/3,5/4}, а также ему соответствуют четыре диаграммы Коксетера — Дынкина: , , и .
Развёртка Форму с тем же внешним видом, что и у додекододекаэдра, можно построить из этих развёрток:
Нужно 12 пятиугольных звёзд и 20 ромбических групп. Однако это построение заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекододекаэдра на набор непересекающихся ромбов, что не соответствует той же самой внутренней структуре.
Связанные многогранники
Выпуклой оболочкой многогранника является икосододекаэдр. У него то же самое , что и у (они имеют общие пентаграммные грани), и у (они имеют общие пятиугольные грани).
ДодекододекаэдрИкосододекаэдр (Выпуклая оболочка)
Этот многогранник можно считать полным усечением большого додекаэдра. Он находится посреди последовательности усечений от малого звёздчатого додекаэдра к большому додекаэдру.
Усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр по поверхности, но имеет 24 грани — 12 пятиугольников от усечения вершин и 12 перекрывающих их пятиугольников, полученных усечением пентаграмм. Усечение самого додекододекаэдра не является однородным и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как ), но он имеет однородное квазиусечение, которое не совсем правильно называют (следовало бы назвать квазиусечённым додекододекаэдром).
НазваниеМалый звёздчатый додекаэдрУсечённый малый звёздчатый додекаэдрДодекододекаэдрБольшойдодекаэдрДиаграммыКоксетера — ДынкинаРисунок
Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической по деформации пентаграмм обратно в правильные пятиугольники. Таким образом, он является, топологически, правильным многогранником с индексом 2:The Regular Polyhedra (of index two) , David A. RichterThe Golay Code on the Dodecadodecahedron , David A. Richter
Цвета на этом рисунке соответствуют цветам красных пентаграмм и жёлтых пятиугольников додекаэдра в начале статьи.
Средний Ромботриаконтаэдр Средний РомботриаконтаэдрТипЗвёздчатый многогранникГраньЭлементыF = 30, E = 60, V = 24 ХарактеристикаЭйлера= -6 Группа симметрии Ih, [5,3], (*532)ОбозначенияDU36Двойственный многогранникДодекододекаэдр
Средний ромботриаконтаэдр — невыпуклый изоэдрический многогранник. Он является двойственным додекододекаэдру и имеет 30 пересекающихся ромбических граней.
Его можно также назвать малым звёздчатым тридцатигранником.
Звёздчатые формы Средний ромботриаконтаэдр является звёздчатой формой ромботриаконтаэдра. Выпуклой оболочкой среднего ромботриаконтаэдра является икосаэдр.
Связанные гиперболические мозаики Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической по деформации ромбов в квадраты. Следовательно, он топологически является правильным многогранником с индексом 2:
Заметим, что квадратная мозаика 5-го порядка двойственна и факторпространство пятиугольной мозаики 4-го порядка топологически эквивалентно двойственному многограннику для среднего ромботриаконтаэдра, додекододекаэдру.
См. также Список однородных многогранников Примечания
Литература
Ссылки
Uniform polyhedra and duals
Категория:Однородные многогранники