-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы (отсутствие ребра между вершинами) или (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

. Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят и ) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят и ).

Список не является избыточным, если принять для . Если расширить семейства, то получаются

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики».

Классы , , включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

Алгебры Ли В терминах комплексных полупростых алгебр Ли: соответствует операторов с нулевым следом, соответствует чётной специальной ортогональной алгебре Ли кососимметрических операторов являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах и соответствующих однониточных групп Ли: соответствует алгебре специальной унитарной группы ; соответствует алгебре чётной , являются тремя из пяти исключительных .

Бинарные полиэдральные группы Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп , . По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина , и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как (в честь ). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» . Соответствие использует построение .

При этом -соответствие не является соответствием правильных многогранников их . Например, в -соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют , в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера и

Орбиобразие , построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа в начале координат, которая называется .

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика ).

Помеченные графы -графы и расширенные (аффинные) -графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами, которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» .

Аффинные -графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами: Любая метка является полусуммой смежных вершин. То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения: . Эквивалентно, положительные функции в ядре . Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные -графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами: Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица. В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения: . Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для эти числа лежат в пределах от 58 до 270.

Другие классификации Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью -классификации.

Диаграммы являются в точности колчанами конечного типа вследствие .

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем , и =. Классы и соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно.

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику.

Троицы Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»Владимир Арнольд, 1997, Лекции в Тороното, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities , June 1997 (last updated August, 1998). TeX , PostScript , PDF Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts? На сервере с 10/03/99, Abstract , TeX , PostScript , PDF ; см. таблицу на стр. 8, а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторамиLes trinités remarquables , Frédéric Chapoton . Троицы Арнольда начинаются с (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию . Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии , соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о . Маккей далее соотносит вершины с классами смежности в (расширение порядка 2 ), а вершины с классами смежности в (расширение порядка 3 группы Фишера). Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, и имеют связь с проективными специальными группами , и (порядка 60, 168 и 660). Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением , таким, что действует нетривиально на точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: и Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов). Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на точек, следующие: является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, является группой симметрий квартики Клейна (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3). Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также , и соответственно с , 28 и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4Arnold 1997, стр. 13.

См. также

Примечания

Литература

(Problem VIII. The A-D-E classifications).

См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.

Chapter 12

Ссылки John Baez, This Week’s Finds in Mathematical Physics : Week 62 , Week 63 , Week 64 , Week 65 , August 28, 1995 through October 3, 1995, and Week 230 , May 4, 2006 The McKay Correspondence , Tony Smith

Категория:Группы Ли