Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом. .
Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.
Формулировка Пусть и суть римановы многообразия. Пусть и суть геодезические с единичной скоростью, такие, что не имеет сопряженных точек вдоль , и пусть — нормальные поля Якоби вдоль и , такие, что и . Предположим, что секционные кривизны и всюду удовлетворяют , где — это 2-плоскость, содержащая , а — 2-плоскость, содержащая . Тогда для всех .
Следствия
Пусть — риманово многообразие, и геодезическая не имеет сопряжённых точек, тогда: Если имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби такого, что , имеем
Если секционная кривизна не меньше 1, то
Если секционная кривизна не больше −1, то
См. также Теорема сравнения Топоногова Теорема сравнения Штурма
Примечания
Ссылки
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия