Теорема сравнения Берже — Каждана — один из фундаментальных результатов в римановой геометрии в целом, дающий точную нижнюю оценку на объём риманова многообразия по его радиусу инъективности.
Теорема была доказана Марселем Берже и Джерри Кажданом в 1980 году. Результат сыграл ключевую роль в решении гипотезы Бляшке.
Формулировка
Для любого компактного связного -мерного риманова многообразия выполняется неравенство
где и — радиус инъективности и объём , а — объём единичной -мерной сферы. При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда риманово многообразие изометрично стандартной сфере радиуса .
В частности, если радиус инъективности многообразия удовлетворяет условию , то его объём не меньше чем у единичной -мерной сферы:
Идея доказательства
Доказательство теоремы опирается на интегральную геометрию и анализ вариаций геодезических через поля Якоби. Риманов объём многообразия можно вычислить с помощью интегрирования элемента объёма в нормальных (геодезических полярных) координатах. Если зафиксировать точку , объём выражается через интеграл по единичной сфере в касательном пространстве :
где — плотность объёма (определитель якобиана экспоненциального отображения вдоль геодезической, выпущенной в направлении единичного вектора ), а — расстояние до множества раздела в данном направлении.
По определению радиуса инъективности, для всех направлений выполняется . Следовательно, интегрирование можно вести как минимум до значения , на интервале до которого вдоль геодезических отсутствуют сопряжённые точки.
Ключевым нововведением Берже и Каждана стало применение специального изопериметрического неравенства типа Штурма — Лиувилля к функции плотности , удовлетворяющей дифференциальному уравнению, которое возникает из уравнения Якоби. Интегрирование этой оценки по расслоению единичных сфер касательного расслоения многообразия (с применением обобщённой формулы Сантало) позволяет строго ограничить объём снизу, причём условие равенства жёстко фиксирует постоянную положительную секционную кривизну, что по теореме Обаты приводит к изометрии со сферой.
Гипотеза Бляшке
Исторически основным мотивом к доказательству этой теоремы стала гипотеза Бляшке о классификации многообразий в которых множество раздела любой точки состоит ровно из одной «антиподальной» точки, находящейся на постоянном расстоянии во всех направлениях. Из этого определения напрямую следует, что радиус инъективности такого пространства равен в точности .
С одной стороны, теорема Берже — Каждана гарантирует, что объём такого многообразия . С другой стороны, прямые интегральные вычисления для пространств с таким поведением множества раздела показывают, что . Комбинирование этих двух фактов даёт строгое равенство . В силу условия жёсткости из теоремы сравнения, отсюда немедленно вытекает, что любое многообразие Видерзена изометрично стандартной сфере, что окончательно закрыло проблему Бляшке для сфер.
См. также Радиус инъективности Теорема Бишопа — Громова Теорема сравнения Рауха Изопериметрическое неравенство
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Теоремы дифференциальной геометрии Категория:Спектральная теория