Теорема Адамара — Картана — утверждение о том, что универсальное накрытие риманова многообразия с неположительной кривизной диффеоморфно евклидову пространству.
История Для поверхностей в евклидовом пространстве теорема была доказана Гансом фон Мангольдтом в 1881 году, и независимо Жаком Адамаром в 1898 году. Общий случай был доказан Эли Картаном в 1928 году.
Обобщения на метрические пространства в разной общности были получены Гербертом БуземаномBusemann, H. Spaces with non-positive curvature. Acta Mathematica 80 (1948), 259--310. и Вилли РиновомRinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961., Михаилом Громовым, а также Стефани Александер и Ричардом Бишопом и Брайаном Боудичем.
Формулировка Теорема Картана — Адамара утверждает, что пространство универсального накрытия связного полного риманова многообразия неположительной секционной кривизны диффеоморфно евклидову пространству. Более того, экспоненциальное отображение в любой точке является диффеоморфизмом.
Вариации и обобщения Теорема обобщается на гильбертовы многообразия в том смысле, что экспоненциальное отображение является универсальным накрытием. При этом полнота понимается в том смысле, что экспоненциальный отображение определено на всём касательном пространстве к точке.
Теорема Картана — Адамара для метрических пространств: метрическое пространство Х с неположительной кривизной в смысле Александрова является CAT(0)-пространством. В частности, если X односвязно, то любые две точки в нём соединяются единственной геодезической, а значит, X является стягиваемым.
Предположение о неположительной кривизны может быть ослаблено. Назовём метрическое пространство X выпуклым, если для любых двух геодезических a(t) и b(t) функция
является выпуклой функцией от t. Метрическое пространство называется локально выпуклым, если каждая его точка имеет окрестность, которая является выпуклой в этом смысле. Теорема Картана — Адамара для локально выпуклых пространств формулируется следующим образом: Если X является локально выпуклым полным связным метрическим пространством, то универсальное накрытие X является выпуклым геодезическим пространством по отношению к индуцированной внутренней метрике. В частности, универсальное накрытие такого пространства стягиваемо.
Вариант теоремы для дельта-гиперболических пространств был доказан М. Л. Громовым.
Обобщённая теорема Адамара — Картана даёт условие на локально CAT(1)-пространства, гарантирующие то что оно является глобально CAT(1). Этот вариант теоремы доказан Брайаном БоудичемB. H. Bowditch. “Notes on locally CAT(1) spaces”. Geometric group theory (Columbus, OH, 1992). Vol. 3. Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ. de Gruyter, Berlin, 1995, 1–48..
Примечания
Литература
Категория:Метрическая геометрия Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Александровская геометрия Категория:Теоремы дифференциальной геометрии