Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство выполняется для некоторых пар например,
История Уравнение упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728). В письме говорится, что при пара — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729) содержится общее решение уравнения, полученное заменой Аналогичное решение дано Эйлером. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если — положительные целые, или то таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи и
Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема, что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поляA. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861..
Решения в действительных числах
Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения Нетривиальные решения можно найти, положив Тогда
Возведение обеих сторон в степень с последующим делением на даёт
Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как
Нетривиальное решение в натуральных числах можно получить, положив или
Решение в терминах W-функции Ламберта Решение уравнения возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта от переменной :W-функция Ламберта
, сделаем замену :
Теперь переменную можно выразить через W-функцию Ламберта:
Окончательно решение будет выглядеть так:
В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке или уравнение буде иметь два корня .
Какой из параметров ( или ), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.
Если при переменной (или ) верно неравенство (или ) , то корней в действительных числах нет.
Решение в терминах супер корня второй степени Уравнение является частным случаем уравнения при и . Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:Суперкорень
Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений и при чётном , однако, на практике, существует только максимум два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени есть обратная к вышеописанной функции (иначе ), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может.
Из данного решения вытекает тождественное равенство: . Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:
, далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:
. Доказанное тождество является частным от более общего случая при .
Примечания
Ссылки
Категория:Диофантовы уравнения Категория:Математические головоломки и досуг