Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.
Определение через изогональное сопряжение Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника. Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.
Определение через треугольники в трилинейных координатах
Определение через треугольники в трилинейных координатах: Если три треугольника , и построены на сторонах треугольника , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые , и пересекаются в одной точке . Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек (см. рис.). Если общий угол при основании равен , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:
Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта .
Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах Геометрическое место точек при изменении угла при основании треугольников между и является гиперболой Киперта с уравнением , где , , — трилинейные координаты точки в треугольнике.
Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника:
Значение Точка , центроид треугольника (X2) (или ) , ортоцентр треугольника (X4) Центр Шпикера (X10) Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485) Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486) , первая точка Наполеона (X17) , вторая точка Наполеона (X18) , первая точка Ферма (X13) , вторая точка Ферма (X14) (если ) (если ) Вершина (если ) (если ) Вершина (если ) (если ) Вершина
Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i): для i=2, (Центроид треугольника), i=4 (Ортоцентр), i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC), i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма), i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона), i=76 (третья точка Брокара), i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара), i=94, 96, i=98 (Точка Тарри=Tarry point), i=226, 262, 275, 321, i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена), i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132, i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point), i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593, i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point), i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point), i=2986, 2996
Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000) Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки ФермаB. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations . Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. .
История Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934).
Свойства Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.
См. также Треугольник Парабола Киперта
Примечания
Литература
Категория:Кривые Категория:Планиметрия