Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z), и Hi(X,Z) = {0} при всех остальных i.
Примеры
Сфера Пуанкаре Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения xp + yq + zr = 0 в при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если , то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,
Свойства Гомологическая сфера связна. Фундаментальная группа гомологической сферы совпадает со своим коммутатором. Пусть . Группа является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когдаMichel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72 : конечно задана; ; . Группа является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если задана равным числом образующих и соотношений, и . Неизвестно, верно ли обратное. Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера. Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.
Вариации и обобщения
Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.
Примечания
Категория:Топологические пространства