Основная гипотеза комбинаторной топологии () — гипотеза, утверждающая, что любые две триангуляции одного пространства допускают изоморфные подразбиения. Сформулирована в 1908 году Эрнстом Штайницем и Генрихом Титце. Впоследствии опровергнута в общем виде; более того, она оказалась неверной для некоторых многообразий размерности 4 и выше.
Контрпример к общему случаю был построен Джоном Милнором в 1961 году с помощью . .
Для многообразий гипотеза верна в размерностях 2 и 3. Эти случаи были доказаны и в 1920-х и 1950-х годах, соответственно.
Препятствие к выполнению гипотезы для многообразий было найдено
и Деннисом Салливаном в 1967—1969 годах с использованием инварианта Рохлина.
Гомеоморфизм между -мерными имеет инвариант такой, что для изотопeн кусочно-линейному гомеоморфизму тогда и только тогда, когда .
Препятствие к выполнению гипотезы является относительным вариантом класса Кёрби — Зибенманна и определяется для любого компактного -мерного топологического многообразия:
с использованием инварианта Рохлина. Для имеет кусочно-линейную структуру (то есть допускает триангуляцию кусочно-линейным многообразием) тогда и только тогда, когда , и в этом случае кусочно-линейные структуры определяются элементом . В частности, существует только конечное число различных кусочно-линейных структур на .
Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашёл примеры с бесконечным числом неэквивалентных кусочно-линейных структур, и Михаил Фридман нашёл E8-многообразие, которое также не допускает триангуляции.
В 2013 году доказал существование компактных многообразий размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не допускают триангуляции.
Примечания
Категория:Опровергнутые математические гипотезы Категория:Маломерная топология Категория:Структуры на многообразиях