Экзотическая сфера — гладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сфере. 

История Первые примеры экзотических сфер были построены Джоном Милнором в размерности 7; он доказал, что на существует как минимум 7 различных гладких структур. Теперь известно, что на ориентированной существует 28 различных гладких структур (15 без учёта ориентации).

Эти примеры, так называемые сферы Милнора, были найдены среди пространств -расслоений над . Такие расслоения классифицируются двумя целыми числами и — элементом . Некоторые из этих расслоений гомеоморфны стандартной сфере, и при этом не диффеоморфны ей.

Поскольку односвязны, согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, проверка гомеоморфности и сводится к подсчёту гомологий ; это условие накладывает определённые условия на и .

В доказательстве не диффеоморфности Милнор рассуждает от противного. Он замечает, что многообразие представляют из себя границу 8-мерного многообразия — пространства расслоения диска над . Далее, если диффеоморфно стандартной сфере, то можно заклеить шаром, получив замкнутое гладкое 8-мерное многообразие. Подсчёт сигнатуры полученного многообразия через его числа Понтрягина приводит к противоречию.

Классификация Связная сумма двух экзотических n-мерных сфер — также экзотическая сфера. Операция связной суммы превращает различные гладкие структуры на ориентированной n-мерной сфере в моноид, называемый моноидом экзотических сфер.

n ≠ 4 Для известно, что моноид экзотических сфер является абелевой группой, называемой группой экзотических сфер.

Эта группа тривиальна для . То есть в этих размерностях существование гомеоморфизма на стандартную сферу влечёт существование диффеоморфизма на . При она изоморфна циклической группе порядка 28. То есть существует семимерная экзотическая сфера , такая, что любая 7-мерная экзотическая сфера диффеоморфна связной сумме нескольких копий ; при этом связная сумма 28 копий диффеоморфна стандартной сфере .

Группа экзотических сфер изоморфна группе Θn классов ориентированных h-кобордизмов гомотопической n-сферы. Эта группа конечна и абелева.

Группа имеет циклическую подгруппу , соответствующую -сферам, которые ограничивают параллелизуемые многообразия. Если n чётное, то группа тривиальна, Если , то группа имеет порядок 1 или 2 Она имеет порядок 1 при n = 1, 5, 13, 29 или 61. Она имеет порядок 2 при , если при этом Если , то есть , то при порядок равен , где — это числитель дроби , — числа Бернулли. (Иногда формула несколько отличается из-за разных определений чисел Бернулли.)

Факторгруппы описываются через стабильные гомотопические группы сфер по модулю образа J-гомоморфизма). Точнее, существует инъективный гомоморфизм , где  — n-я стабильная гомотопическая группа сфер, и — образ J-гомоморфизма. Этот гомоморфизм либо является изоморфизмом, либо имеет образ индекса 2. Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с 1.

Вопрос о существовании такого многообразия называется задачей Кервера. По состоянию на 2012 год она не решена только для случая . Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62.

{| class="wikitable" style="text-align:center" border="1" cellpadding="2"

! Размерность n ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 ! 10 ! 11 ! 12 ! 13 ! 14 ! 15 ! 16 ! 17 ! 18 ! 19 ! 20 |- ! Порядок Θn | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 | 3 | 2 | 16256 | 2 | 16 | 16 | 523264 | 24 |- !Порядок bPn+1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 1 | 2 | 1 | 992 | 1 | 1 | 1 | 8128 | 1 | 2 | 1 | 261632 | 1 |- !Порядок Θn/bPn+1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 |2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |- !Порядок πnS/J | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2×2 | 6 | 1 | 1 | 3 | 2×2 | 2 | 2 | 2×2×2 | 8×2 | 2 | 24 |- !Индекс

| 2

| 2

| 2

Дальнейшие значения в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических групп сфер.

В нечётных размерностях сферы и только они имеют единственную гладкую структуру.

n = 4 В размерности практически ничего не известно о моноиде гладких сфер, кроме того, что он является конечным или счётно-бесконечным и абелевым. Неизвестно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерной сфере. Утверждение, что их нет, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре».

Так называемое скручивание Глака состоит в вырезании трубчатой окрестности 2-сферы S2 в S4 и вклеивании его обратно с помощью диффеоморфизма его границы . Результат всегда гомеоморфен S4, но в большинстве случаев неизвестно, диффеоморфен ли он S4.

Скрученные сферы Пусть дан диффеоморфизм , сохраняющий ориентацию. Склеив две копии шара по отображению между границами, получим так называемую сферу, скрученную диффеоморфизмом . Скрученная сфера гомеоморфна стандартной, но, вообще говоря, не диффеоморфна ей.

Иначе говоря, многообразие называется скрученной сферой, если оно допускает функцию Морса ровно с двумя критическими точками.

При n ≠ 4 любая экзотическая сфера диффеоморфна некоторой скрученной сфере. При n = 4 любая скрученная сфера диффеоморфна стандартной.

Примечания

См. также Многообразие Брискорна Дикая сфера

Ссылки Akbulut, Selman (2009), Cappell–Shaneson homotopy spheres are standard, arXiv:0907.0136 Brieskorn, Egbert V. (1966), "Examples of singular normal complex spaces which are topological manifolds", Proceedings of the National Academy of Sciences 55 (6): 1395–1397, doi:10.1073/pnas.55.6.1395, MR 0198497, PMC 224331, PMID 16578636 Brieskorn, Egbert (1966b), "Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten", Invent. Math. 2 (1): 1–14, doi:10.1007/BF01403388, MR 0206972 Browder, William (1969), "The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization", Annals of Mathematics 90 (1): 157–186, doi:10.2307/1970686, JSTOR 1970686, MR 0251736 Freedman, Michael; Gompf, Robert; Morrison, Scott; Walker, Kevin (2010), "Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincaré conjecture", Quantum Topology 1 (2): 171–208, arXiv:0906.5177, doi:10.4171/qt/5 Gluck, Herman (1962), "The embedding of two-spheres in the four-sphere", Transactions of the American Mathematical Society 104 (2): 308–333, doi:10.2307/1993581, JSTOR 1993581, MR 0146807 Hirzebruch, Friedrich; Mayer, Karl Heinz (1968), O(n)-Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten, Lecture Notes in Mathematics 57, Berlin-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0074355, MR 0229251 Эта книга описывает труды Брискорна, в которых экзотические сферы связываются с сингулярностями комплексных многообразий. Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963). "Groups of homotopy spheres: I" (PDF). Annals of Mathematics (Princeton University Press) 77 (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. JSTOR 1970128. MR 0148075. – Эта работа описывает структуру группы гладких структур на n-сфере при n>4. К сожалению, анонсированная статья "Groups of Homotopy Spheres: II" никогда не вышла, но материалы лекций Левина содержат тот материал, который она, по-видимому, могла содержать. Levine, J.P. (1985), "Lectures on groups of homotopy spheres", Algebraic and geometric topology, Lecture Notes in Mathematics 1126, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. 62–95, doi:10.1007/BFb0074439, MR 8757031 Milnor, John W. (1956), "On manifolds homeomorphic to the 7-sphere", Annals of Mathematics 64 (2): 399–405, doi:10.2307/1969983, JSTOR 1969983, MR 0082103

Milnor, John W. (1959), "Sommes de variétes différentiables et structures différentiables des sphères", Bulletin de la Société Mathématique de France 87: 439–444, MR 0117744 Milnor, John W. (1959b), "Differentiable structures on spheres", American Journal of Mathematics 81 (4): 962–972, doi:10.2307/2372998, JSTOR 2372998, MR 0110107 Milnor, John (2000), "Classification of (n − 1)-connected 2n-dimensional manifolds and the discovery of exotic spheres", in Cappell, Sylvain; Ranick, Andrew; Rosenberg, Jonathan, Surveys on Surgery Theory: Volume 1, Annals of Mathematics Studies 145, Princeton University Press, pp. 25–30, ISBN 9780691049380, MR 1747528 Milnor, John Willard (2009), "Fifty years ago: topology of manifolds in the 50's and 60's", in Mrowka, Tomasz S.; Ozsváth., Peter S., Low dimensional topology. Lecture notes from the 15th Park City Mathematics Institute (PCMI) Graduate Summer School held in Park City, UT, Summer 2006. (PDF), IAS/Park City Math. Ser. 15, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 9–20, ISBN 978-0-8218-4766-4, MR 2503491 Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809 Rudyak, Yu.B. (2001), "Milnor sphere", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 .

Внешние ссылки Экзотические сферы на Manifold Atlas Экзотические сферы. Исходные материалы, относящийся к экзотическим сферам. Анимации экзотических 7-сфер — видео из доклада Найлза Джонсона со Второй Абелевской конференции. Gluck_construction

Категория:Дифференциальная геометрия и топология