В физике и математике, в теории динамических систем, двойной маятник определяют как маятник, состоящий из двух звеньев. Как правило, первое звено закреплено в неподвижной точке с помощью сферического или цилиндрического шарнира. Второе звено прикреплено ко второму концу первого звена в общем случае также с помощью сферического шарнира. Двойной маятник является простой физической системой, которая проявляет разнообразное динамическое поведение со значительной зависимостью от начальных условийLevien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11) : 1038. Движение маятника описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для некоторых энергий его движение является хаотическим.
Анализ Можно рассматривать несколько вариантов двойных маятников: два звена могут быть одинаковыми или иметь разную длину и вес; они могут быть простыми маятниками или физическими маятниками; движение может происходить в пространстве или быть ограничено вертикальной плоскостью.
В дальнейшем анализе предполагается, что звенья — одинаковые физические маятники длины и массы , и их движение ограничено вертикальной плоскостью.
У физического маятника масса распределена вдоль всей его длины. Если масса распределена равномерно, тогда центр масс каждого звена совпадает с его геометрическим центром, и звено имеет такой момент инерции относительно этой точки.
Для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы удобно использовать в качестве обобщённых координат углы, которые образуют звенья с нисходящей вертикалью. Они задают точку на конфигурационном пространстве системы — двумерном торе. Если поместить начало декартовой системы координат в точку подвеса первого звена, то относительно этой системы отсчёта центр масс первого маятника находится в точке с координатами:
Центр масс второго звена находится в точке с координатами
Этой информации достаточно для того, чтобы выписать лагранжиан и с его помощью вывести описывающие движения уравнения Лагранжа.
Лагранжиан Лагранжиан
иначе называемый функцией Лагранжа, записывается как разность кинетической энергии и потенциальной энергии. Первое слагаемое в выражении для кинетическая энергия отвечает за кинетическую энергию поступательного движения центров масс звеньев. Второе слагаемое в этом выражении определяет кинетическую энергию вращательного движения каждого из стержней вокруг его центра масс. Последнее слагаемое определяет потенциальную энергию звеньев маятника в однородном гравитационном поле.
Подставляя координаты в выражение для функции Лагранжа после перегруппировки имеем
Обобщенные импульсы можно записать как
Эти выражения можно преобразовать, чтобы получить
Уравнения движения, получаемые как уравнения Эйлера — Лагранжа, можно записать как
Последние четыре уравнения описывают динамику системы с заданным текущим состоянием — начальными координатами и начальными скоростями системы.
В общем случае эти уравнения невозможно проинтегрировать аналитическиБуров А. А. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о тяжелом двузвенном плоском маятнике // Прикладная математика и механика. Том 50. Вып.1. С.168-171 = A.A. Burov On the non-existence of a supplementary integral in the problem of a heavy two-link plane pendulum //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Volume 50, Issue 1, 1986, Pages 123—125,Dullin, H.R. Melnikov’s method applied to the double pendulum. Z. Physik B — Condensed Matter 93, 521—528 (1994). и представить формулы для θ1 и θ2 как явные функции от времени. Однако возможно выполнить численное интегрирование, позволяющее наблюдать динамику двойного маятника.
Некоторые задачи Рассматривают различные задачи, в которых появляется двухзвенный маятник. Среди них задача о движении на круговой орбите V. A. Sarychev, Equilibria of a double pendulum in a circular orbit, Acta Astronautica, 44 (1999), 63-65. задача о движении на эллиптической орбите José Laudelino de Menezes Neto, Gerson Cruz Araujo, Yocelyn Pérez Rothen, Claudio Vidal. Parametric stability of a double pendulum with variable length and with its center of mass in an elliptic orbit. Journal of Geometric Mechanics, 2022, 14(3): 381-408. .
Примечания
Категория:Хаотические отображения Категория:Маятники