В математике абстрактный многогранник, неформально говоря, это структура, которая учитывает только комбинаторные свойства традиционных многогранников и игнорирует много других их свойств, таких как углы, длины рёбер и т. д. При этом не требуется наличие какого-либо содержащего многогранник пространства, такого как евклидово пространство. Абстрактная формулировка реализует комбинаторные свойства как частично упорядоченное множество («посет»poset = partially ordered set = частично упорядоченное множество).
Абстрактное определение позволяет некоторые более общие комбинаторные структуры, чем традиционная концепция многогранника, и допускает много новых объектов, не имеющих аналога в традиционной теории.
Традиционные многогранники в сравнении с абстрактными В евклидовой геометрии шесть четырёхугольников на рисунке выше различны. Всё же они имеют что-то общее, что отличает их от треугольника или куба, например.
Элегантная, хотя географически неточная, обеспечивает всю относящуюся к делу информацию как проехать из пункта A в пункт B. Ещё лучший пример — электрическая принципиальная схема. По ней конечное расположение проводов и элементов часто с первого взгляда определить невозможно.
В каждом таком примере связи между элементами те же самые и не связаны с физическим расположением. В этом случае говорят, что объекты комбинаторно эквивалентны. Эта эквивалентность и заключена в понятие абстрактного многогранника. Таким образом, комбинаторно наши шесть четырёхугольников «те же самые». Говоря более строго, они изоморфны или «сохраняют структуру».
Свойства, в частности измеримые, традиционных многогранников, такие как углы, длина рёбер, несимметрия и выпуклость не имеют значения для абстрактных многогранников. Другие традиционные понятия могут рассматриваться, но не всегда тем же самым образом. Может случиться, что некоторое суждение, верное для традиционных многогранников, может не быть верным для абстрактных, и наоборот. Например, традиционные многогранники правильные, если все их грани и вершинные фигуры правильные, но это не имеет место для абстрактных многогранников.
Вводные понятия Для определения абстрактных многогранников следует ввести несколько понятий.
В этой статье многогранник означает абстрактный многогранник, если не указано явно другое. Термин традиционный будет использоваться для ссылок на то, что обычно понимается под многогранниками за исключением собственно абстрактных многогранников. Иногда авторы употребляют термины классический или геометрический.
Многогранники как частично упорядоченные множества Связи на схеме железной дороги или электрической схеме могут быть представлены просто «точками и линиями», то есть графом. Многогранники, однако, имеют иерархию по размерности. Например, вершины, рёбра и грани куба имеют размерности 0, 1 и 2 соответственно. Сам куб является 3-мерным.
В этой абстрактной теории понятие ранга заменяет понятие размерности. Это понятие формально определено ниже.
Мы используем понятие грань для любых элементов любого ранга, например вершин (ранг 0) или рёбер (ранг 1), а не только граней ранга 2. Элемент ранга k называется k-гранью.
Можем тогда определить многогранник как множество граней P с отношением порядка <, которое удовлетворяет дополнительным аксиомам. Формально, P (с отношением порядка <) будет (строго) частично упорядоченным множеством (посет).
Если F < G, мы говорим, что F является подгранью G (или G имеет подгрань F).
Мы говорим, что F и G инцидентны, если либо F = G, либо F < G, либо G < F. Это значение отличается от традиционного использования в геометрии и других областей математики. Например, в квадрате abcd, рёбра ab и bc не инцидентны.
Наименьшие и наибольшие грани Так же как понятия нуля и бесконечности являются необходимыми в математике, такие же понятия крайне полезны для абстрактных многогранников — считается что любой многогранник имеет наименьшую грань, являющуюся подгранью всех других, и наибольшую грань, для которой все остальные грани являются подгранями.
Фактически, многогранник может иметь всего одну грань. В этом случае наименьшая и наибольшая грани совпадают.
Наименьшая и наибольшая грани называются несобственными. Все остальные грани называются собственными.
Наименьшая грань называется пустой гранью, поскольку не имеет вершин (или каких-либо других граней) в качестве подграней. Поскольку наименьшая грань находится ниже по уровню вершин (граней нулевого ранга), её ранг равен −1. Мы обозначаем эту грань как F−1. Если это кажется на первый взгляд странным, это чувство быстро исчезает, когда понимаешь, какую симметрию это понятие вносит в теорию. (Исторически, математики сопротивлялись таким понятиям, как отрицательные числа, дробные, иррациональные и комплексные числа, и даже нулю!)
Простой пример В качестве примера теперь создадим абстрактный квадрат с гранями как в таблице:
Тип граниРанг (k)Числоk-граниНаименьшая −1 1F−1Вершины 0 4a, b, c, dРёбра 1 4W, X, Y, ZНаибольшая 2 1G
Отношение < определяется как множество пар, которое (для этого примера) включает
F−1<a, … , F−1<X, ... , F−1<G, ... , b<Y, ... , c<G, ... , Z< G.
В этом примере мы могли бы записать рёбра W, X, Y и Z как ab, ad, bc и cd соответственно, и мы будем часто использовать такой вариант записи. Но, как мы вскоре увидим, такая система записи не всегда приемлема.
Мы называем полученную фигуру квадратом, а не четырёхугольником (или четырёхсторонником), поскольку в нашем абстрактном мире нет углов и рёбра не имеют длин. Все четыре ребра идентичны и «геометрия» в каждой вершине та же самая.
Отношения порядка транзитивны, т. е. из F < G и G < H следует, что F < H. Таким образом, для описания иерархии граней нет необходимости задавать все случаи F < H, достаточно указать для каждого элемента последующий элемент, т. е. когда F < H и нет такого G, для которого F < G < H.
Диаграмма Хассе
Малые посеты, и многогранники в частности, часто хорошо визуализируются с помощью диаграммы Хассе, как показано на рисунке. Обычно грани одинакового ранга размещаются на одном горизонтальном уровне. Каждая «линия» между гранями соответствует паре F, G, такой что F < G, где F находится на диаграмме ниже, чем G.
Многогранник часто рисуется неформально как граф. Граф имеет вершины и рёбра, но не имеет граней. Более того, для большинства многогранников невозможно получить все остальные грани из графа, и, в общем случае, различные многогранники могут иметь тот же самый граф.
Диаграмма Хассе, с другой стороны, полностью описывает любой посет — все структуры многогранников покрываются диаграммами Хассе. Изоморфные многогранники дают изоморфные диаграммы Хассе и наоборот.
Ранг Ранг грани F определяется как целое (m − 2), где m — максимальное число граней в любой цепочке (F', F", ... , F), удовлетворяющей F' < F" < ... < F.Ранг посета P — это максимальный ранг n любой грани, т. е. ранг максимальной грани (как указано выше, любой многогранник имеет максимальную грань). В этой статье мы всегда используем n для обозначения ранга посета или многогранника.
Отсюда следует, что наименьшая грань, и никакая другая, имеет ранг −1, а наибольшая грань имеет ранг n. Мы обозначаем их как F−1 и Fn соответственно.
Ранг грани или многогранника обычно соответствует размерности аналога в традиционной теории, но не всегда. Например, грань ранга 1 соответствует ребру, которое имеет размерность 1. Но пространственный многоугольник в традиционной геометрии является 3-мерным, поскольку он не является плоским. В абстрактном эквиваленте такой многоугольник остаётся абстрактным многоугольником ранга 2.
Для некоторых рангов существуют имена для типов граней. Ранг −1 0 1 2 3 … n — 2 n — 1 n Тип грани Наимень-шая Вершина Ребро† Ячейка Гиперребро Гипергрань Наибольшая
† Хотя традиционно под «гранью» понимается грань ранга 2, мы будем всегда писать «2-грань» во избежание двусмысленности и оставляем термин «грань» для обозначения грани любого ранга.
Отрезок
Отрезок — это посет, имеющий минимальную грань, в точности две 0-грани и наибольшую грань, например {ø, a, b, ab}. Отсюда сразу следует, что вершины a и b имеют ранг 0, а наибольшая грань ab, а потому и сам посет, имеют ранг 1.
Флаги Флаг — это максимальная цепочка граней, то есть (полностью) упорядоченное множество Ψ граней, в котором каждая грань является подгранью следующей (если такова есть), и такое, что Ψ не является подмножеством какой-либо большей цепочки.
Например, {ø, a, ab, abc} является флагом в треугольнике abc.
Мы будем дополнительно требовать, чтобы для данного многогранника все флаги содержали одно и то же число граней. Посеты, в общем случае, не удовлетворяют этим требованиям. Посет {ø, a, b, bc, abc} имеет 2 флага неравного размера, а потому не является многогранником.
Ясно, что если есть две различные грани F, G во флаге, то либо F < G, либо F > G.
Секции
Любое подмножество P' посета P является посетом (с тем же отношение <, ограниченном на P').
В частности, если даны две грани F, H посета P, где F ≤ H, множество {G | F ≤ G ≤ H} называется секцией посета P и обозначается H/F. (В терминологии теории порядка секция носит название замкнутым интервалом посета и обозначается [F, H], но понятия идентичны).
Таким образом, P является секцией себя.
Например, в призме abcxyz (см. рисунок) секция xyz/ø (выделена зелёным цветом) является треугольником
{ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.
k-секция — это секция ранга k.
Многогранник, являющийся подмножеством другого многогранника, не обязательно является секцией. Квадрат abcd является подмножеством тетраэдра abcd, но не является его секцией.
Понятие секции не имеет то же самое значение в традиционной геометрии.
Вершинные фигуры Вершинная фигура в заданной вершине V — это (n−1)-секция Fn/V, где Fn является наибольшей гранью.
Например, в треугольнике abc вершинной фигурой в b, abc/b, является {b, ab, bc, abc}, то есть отрезок. Вершинными фигурами куба являются треугольники.
Связность Посет P является связным, если ранг P ≤ 1, либо для любых двух собственных граней F и G существует последовательность собственных граней
H1, H2, … ,Hk
Такая что F = H1, G = Hk и каждая грань Hi, i < k инцидентна предшествующей грани.
Условие выше обеспечивает, что пара отдельных треугольников abc и xyz не является (единым) многогранником.
Посет P является строго связным, если любая секция P (включая сам P) связна.
С этим дополнительным требованием исключаются две пирамиды, имеющие только общую вершину. Однако две квадратные пирамиды, например, могут быть «склеены» по их квадратным граням, что даёт октаэдр. В этом случае «общая грань» не является гранью октаэдра.
Формальное определение Абстрактный многогранник — это частично упорядоченное множество, элементы которого мы называем гранями, удовлетворяющий следующим четырём аксиомам:
Он имеет наименьшую грань и наибольшую грань. Все флаги содержат одно и тоже число граней. Он строго связан. Любая 1-секция является отрезком.
n-многогранник является многогранником ранга n.
Примечания В случае пустого многогранника наименьшая и наибольшая грани являются одним и тем же единственным элементом.
Аксиома 2 эквивалентна утверждению, что посет является градуированным посетом.
Если выполняются другие аксиомы, аксиома 3 эквивалентна строгой связности флагов, что неформально означает:
Для любой секции многогранника (включая сам многогранник) любой флаг может быть изменён в любой другой изменением лишь одной грани за шаг.
Аксиома 4 известна как «свойство алмаза», поскольку на диаграмме Хассе отрезок представляется четырёхугольником (алмазом).
Из аксиом можно показать, что любая секция является многогранником и что Rank(G/F) = Rank(G) − Rank(F) − 1.
Простейшие многогранники
Ранг < 2 Имеется лишь по одному многограннику с рангами −1, 0 и 1, и это, соответственно, пустой многогранник, точка и отрезок.
Для n ≤ 1 все n-секции многогранника являются (уникальными) n-многогранниками. Однако грани ранга 0 и 1 многогранника называются вершинами и рёбрами соответственно.
Ранг 2