Пятиугольный многогранник — правильный многогранник в пространстве размерности n, построенный из группы Коксетера Hn. Семейству дал имя Гарольд Коксетер, поскольку двумерным пятиугольным многогранником является пятиугольник. В зависимости от его символа Шлефли он может быть назван додекаэдральным ({5, 3n − 2}) или икосаэдральным ({3n − 2, 5}).
Члены семейства Семейство начинается с одномерных многогранников (отрезок, n = 1) и завершается бесконечным замощением 4-мерной гиперболической сферы с n = 5.
Существует два типа пятиугольных многогранников. Один тип можно назвать додекаэдральные многогранники, а другой — икосаэдральные, в зависимости от его трёхмерных частей. Эти два типа двойственны друг другу.
Додекаэдральные многогранники Полное семейство додекаэдральных многогранников состоит из: Отрезок, { } Пятиугольник, {5} Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней) Стодвадцатигранник, {5, 3, 3} (120 додекаэдральных ячеек) Стодвадцатиячейные соты порядка 3, {5, 3, 3, 3} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство
Фасеты любого додекаэдрального многогранника являются додекаэдральными пятиугольными многогранниками на единицу меньшей размерности. Их вершинными фигурами являются симплексы на единицу меньшей размерности. + Додекаэдральные пятиугольные многогранникиnГруппа КоксетераМногоугольник Петри(проекция)Названиедиаграмма КоксетераСимвол ШлефлиФасетыЭлементы ВершиныРёбра Грани 4-грани1[ ](порядок 2)Отрезок{ }2 вершины22(порядок 10)Пятиугольник{5}5 рёбер553[5,3](порядок 120)Додекаэдр{5, 3}12 пятиугольников2030124[5,3,3](порядок 14400)Стодвадцатиячейник{5, 3, 3}120 додекаэдров60012007201205[5,3,3,3](порядок ∞)Стодвадцатиячейные соты{5, 3, 3, 3}∞ Стодвадцатиячейников∞∞∞∞∞
Икосаэдральные многогранники Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников состоит из: Отрезок, { } Пятиугольник, {5} Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней) Шестисотячейник, {3, 3, 5} (120 тетраэдральных ячеек) , {3, 3, 3, 5} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство (∞ пятиячейных фасет)
Фасеты любого икосаэдрального пятиугольного многогранника являются симплексами на единицу меньшей размерности. Вершинными фигурами многогранников являются икосаэдральные пятиугольные многогранники на единицу меньшей размерности. + Икосаэдральные пятиугольные многогранникиnГруппа КоксетераМногоугольник Петри(проекция)Названиедиаграмма КоксетераСимвол ШлефлиФасетыЭлементы Вершины Рёбра Грани 4-грани1[ ](порядок 2)Отрезок{ }2 вершины22(порядок 10)Пятиугольник{5}5 рёбер553[5,3](порядок 120)Икосаэдр{3, 5}20 правильных треугольников1230204[5,3,3](порядок 14400)Шестисотячейник{3, 3, 5}600 тетраэдров12072012006005[5,3,3,3](порядок ∞){3, 3, 3, 5}∞ Пятиячейников∞∞∞∞∞
Связанные звёздчатые многогранники и соты От пятиугольных многогранников могут быть образованы звёзчатые формы с получением новых звёздчатых правильных многогранников: В трёхмерном пространстве получаются четыре многогранника Кеплера — Пуансо — {3,5/2}, {5/2,3}, {5,5/2} и {5/2,5}. В четырёхмерном пространстве получаются десять многогранников Шлефли-Гесса: ,{, , , , , , , и {5/2,3,3}. В четырёхмерном гиперболическом пространстве существуют четыре правильных звёздчатых сот: , , и .
Примечания
Литература
(Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
Категория:Многогранники Категория:Многомерная евклидова геометрия