В математике говорят, что множество есть подмно́жество множества , если все элементы первого множества являются и элементами второго множества.
Определение Множество называется подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежат . Формальное определение:
Существует две системы символических обозначений для подмножеств: « является подмножеством (нестрогим)» обозначается « является строгим подмножеством » обозначается Примечание Символ является аналогом , то есть в случае допускается равенство множеств; символ является аналогом , то есть в случае в есть элементы, которых нет в . Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным». Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.
Множество называется множества , если является подмножеством множества .
То, что является надмножеством множества , записывают , то есть
Множество всех подмножеств множества обозначается .
Множества и называются равными , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть и .Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11
Собственное и несобственное подмножество Любое множество среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственнымиПодмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465.
То есть, если мы хотим исключить само и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так: множество является собственным подмножеством множества , только если и , .
Зарубежная литература В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными, а собственные — нетривиальными, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B», то есть здесь понятие «собственное подмножество» уже, наоборот, включает пустое множество.
В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:
множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством (proper subset) и .
Примеры Множества являются подмножествами множества Множества являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными. Множества являются подмножествами множества Пусть Тогда Пусть . Тогда а также (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A).
Свойства Отношение подмножества обладает целым рядом свойств. Отношение подмножества является отношением частичного порядка: Отношение подмножества рефлексивно:
Отношение подмножества антисимметрично:
Отношение подмножества транзитивно:
Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
Для любых трёх множеств , и таких, что , равносильны все следующие утверждения:
Подмножества конечных множеств Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся таких подмножеств.
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория множеств