Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.
Примеры Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности . Комплексная проективная прямая — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, .
Действие групп на проективной прямой Для групп и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы , для которых это действие является точным. Для конечного поля изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.
В алгебраической геометрии Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой является поле рациональных функций. Группой автоморфизмов поля является группа . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.
Примечания
Литература Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — : Наука 1986. Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — : Мир, 1981.
Категория:Алгебраическая геометрия Категория:Проективная геометрия