Пространства Адамара (или полное CAT(0) пространство с внутренней метрикой) — нелинейное обобщение гильбертовых пространств, частный случай пространства Александрова с кривизной ограниченной сверху.

Пространства названы в честь Жака Адамара.

Определение

Пространство Адамара — непустое полное метрическое пространство, где для  любых двух точек x и y найдётся точка m такая, что неравенство

выполняется для любой точки z.

Замечания Заметим, что точка лежит ровно посередине и , то есть . Это можно увидеть, предположив в неравенстве выше. В гильбертовом пространстве неравенство выше превращается в равенство (с ). Пространства Адамара можно определить как полные CAT(0) пространства.

Свойства Теорема Решетняка о склеивании утверждает в частности, что пространство, полученное склейкой двух пространств Адамара по изометричным выпуклым множествам, также является пространством Адамара. Нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым. В пространстве Адамара, любые две точки можно соединить с помощью единственной геодезической. В частности, пространства Адамара стягиваемы. Всякое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в единственном замкнутом шаре с минимальным радиусом. Центр этого шара называется центром множества. В частности, если — это группа из движений в пространстве Адамара, которая оставляет инвариантным ограниченное множество, то фиксирует и его центр. Локально выпуклое замкнутое множество в пространстве Адамара является глобально выпуклым. По теореме Картана — Адамара, пространство является пространством Адамара, если оно односвязно и CAT(0) неравенство выполняется локально, то есть любая точка допускает замкнутую окрестность, являющуюся пространством Адамара.

Примеры

Гильбертово пространство Пространство Лобачевского Деревья с полной внутренней метрикой Полные односвязные римановы многообразия с неположительной секционной кривизной

Вариации и обобщения

CAT(κ) пространство

Литература

Категория:Александровская геометрия Категория:Геометрическая теория групп