Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.
История Теорема доказана Брауэром.Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), pages 305–315; см. также 72 (1912), pages 55–56 Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.
Формулировка Пусть — открытое подмножество в , и — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ является открытым подмножеством в . Более того, задаёт гомеоморфизм .
Замечания Заключение теоремы можно сформулировать так: является открытым отображением. Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности. Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига
гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.
Следствия Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны. Эта теорема используется в доказательстве существования выпуклого многогранника с данной развёрткой.
Вариации и обобщения Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности. Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.Leray J. Topologie des espaces abstraits de M. Banach.
Примечеания
Категория:Алгебраическая топология Категория:Теоремы топологии