Трилинейные поляры треугольника — некоторые специальные виды прямой линии, связанные с плоскостью треугольника и лежащие в плоскости треугольника. Трилинейная поляра точки Y (полюса) относительно невырожденного треугольника это — прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры EDF красной точки Y). Здесь чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника. Свойства Трилинейная поляра EDF пересекает три продолжения трех сторон опорного треугольника ABC в трех точках так, что вместе с двумя концами сторон треугольника и с соответствующим основанием одной из трех чевиан образует гармоническую четвёрку точек, лежащих на каждой из трех сторон, включая их продолжения. На рис. справа выше это - три гармонические четвёрки точек: 1) B,C',A,F, 2) B,A',C,D, 3) A,B',C,E.
Примеры трилинейных поляр треугольника
Трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра) служит ось внешних биссектрис или антиортовая ось DEF(antiorthic axis) (см. рис.). На ней лежат все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов треугольника ABC.
Ортоцентрическая ось (Orthic axis) — трилинейная поляра ортоцентра (см. рис.)
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида (см. рис.)
Трилинейная полярой точки Лемуана служит ось Лемуана (см. рис.)
Трилинейная полярой центра описанной окружности служит прямая EDF (см. рис.)
Трилинейнай полярой точки Коснита, изогонально сопряженной для центра окружности девяти точек, служит прямая EDF (см. рис.)
Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид) Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности. Это означает то, что если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , тогда трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки .
Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра показана красным цветом.
Вариации и обобщения Существуют также понятие поляры точки P относительно невырожденной кривой второго порядка. Трилинейная поляра точки Y, изогонально сопряженной для точки X треугольника, называется центральной линией точки X.
См. также Центральная линия (геометрия) Полюс и поляра
Примечания
Категория:Проективная геометрия Категория:Геометрия треугольника Категория:Многоугольники Категория:Геометрические фигуры