Униве́рсум Гротенди́ка в математике — непустое множество , такое что: если и , то ; если , то ; если , то ; если — семейство элементов и , то . Универсумы Гротендика используются в теории категорий в качестве альтернативы собственным классам. Идея универсумов принадлежит Александру Гротендику, который впервые описал их и применил в теории топосов на семинаре SGA.
Свойства Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения: если , то одноэлементное множество также принадлежит ; если и — подмножество в , то ; если , то упорядоченная пара также принадлежит ; если , то объединение и декартово произведение принадлежат ; если — семейство элементов и , то ; если , то (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).
Аксиома об универсумах В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах: Для любого множества существует универсум такой, что .
Связанные определения Пусть выбран некоторый универсум Гротендика . Множество называется -малым, если ; Категория называется -малой, если множества её объектов и морфизмов являются -малыми; Категория называется локально -малой, если все её hom-множества являются -малыми. В частности, категория всех -малых множеств не является -малой, но является локально -малой.
Примечания
Категория:Теория категорий