Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, и другие.

Определение Полное геодезическое метрическое пространство называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определения Пространство называется -гипервыпуклым если любое семейство из закнутых шаров таких, что имеет общую точку. -гипервыпуклое пространство также называется выпуклым. Пространство называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.

Примеры Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен. Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно. Любое метрическое дерево инъективно. Пространство является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым. Пространство Урысона является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.

Свойства В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра. Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга. Инъективное пространство является полным. Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку. Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам. Иначе говоря, пространство является инъективным, если для любого короткого отображения и изометрического вложения существует короткое отображение такое, что . Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.) Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением. Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно. Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.B. Miesch and M. Pavón. Ball Intersection Properties in Metric Spaces. 2016. arXiv: 1610.03307 [math.MG].

См. также Категория метрических пространств

Примечания

Ссылки

Категория:Метрическая геометрия