Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).
История Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году.
Определение Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.) Пусть дан любой треугольник . Пусть — его центр описанной окружности и — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке (треугольник есть треугольник Брокара для треугольника ). Пусть есть прямая, проходящая через параллельно прямой , есть прямая, проходящая через параллельно прямой , и есть прямая, проходящая через параллельно прямой . Тогда все три прямых , и пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника .
Трилинейные координаты Трилинейные координаты точки Штейнера равны .
Свойства Описанный вокруг треугольника эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины , и . Точка Штейнера треугольника лежит на описанном вокруг треугольника эллипсе Штейнера. Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине. Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника и имеет трилинейные координаты: . Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника. Прямая Симсона точки Штейнера треугольника параллельна прямой , где — центр описанной окружности и — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника .
Точка Тарри Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника , диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри'' равны , где является углом Брокара треугольника .
Примечания
См. также
Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.
Категория:Замечательные точки треугольника