Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности метрических пространств и последовательности функций на них.
Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.
После выбора неглавного ультрафильтра ультрапредел даёт канонический выбор частного предела последовательности и, таким образом, позволяет избежать многократного перехода к подпоследовательности.
Неглавный ультрафильтр
Напомним, что ультрафильтр на множестве натуральных чисел — это множество подмножеств множества , которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества оно содержит либо , либо дополнение .
Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.
Определения Далее — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел .
Ультрапредел точек
Если — последовательность точек в метрическом пространстве , то точка называется -пределом , если для каждого подмножество
содержится в .
В этом случае пишут и обозначается или при .
Ультрапредел пространств
Пусть — последовательность метрических пространств. Рассмотрим всевозможные последовательности точек . Для двух таких последовательностей определим расстояние как
Функция является псевдометрикой со значениями в . Соответствующее -метрическое пространство называется -пределом последовательности .
В этом случае пишут и обозначается или при .
Ультрастепень
Ултрапредел постоянной последовательности метрических пространств для ултрафильтра также называется ултрастепенью, -степенью, ультрапополнением или -пополнением. Обычно -степень обозначается .
совпадает с только если — компактно.
Свойства
Если -предел последовательности точек существует, то он единственный. Если метрическое пространство компактно, то -предел любой последовательности точек существует и единственный. В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определённый -предел в . -предел последовательности является её частичным пределом. В частности, если , то и в стандартном смысле . Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности. Равенство
выполняется для произвольной непрерывной функции , определённой в точке . В частности:
См. также Ультрафильтр
Литература M. Gromov. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. ; Ch. 3.
Категория:Пределы Категория:Метрическая геометрия