Эксцентрическая аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по эллиптической орбите. Эксцентрическая аномалия является одним из трёх угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите. Другие два — истинная аномалия и средняя аномалия.
Графическое представление Рассмотрим эллипс, заданный уравнением
где
и — большая и малая полуоси.
Для точки эллипса , отражающей положение тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия есть угол на рисунке. Эксцентрическая аномалия — один из углов прямоугольного треугольника с вершиной в центре эллипса, один катет которого лежит на большой оси, гипотенуза равна (большой полуоси эллипса), а второй катет (перпендикулярный большой оси и имеющий конец в точке на вспомогательной окружности радиуса ) проходит через точку . Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, обозначенная на рисунке как . Эксцентричекая аномалия в терминах этих коорцинат выражается как
,
.
Второе уравнение устанавливается с использованием соотношения
,
которое подразумевает, что . Уравнение можно сразу исключить, поскольку оно означает движение в обратном направлении. Второе уравнение можно рассматривать как получающееся из подобного треугольника, катет которого имеет длину , равную расстоянию от до большой оси, а гипотенуза равна малой полуоси эллипса.
Формулы
Расстояние и эксцентрическая аномалия Эксцентриситет определяется как
.
Из теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой , равной :
Таким образом, расстояние связывается с эксцентрической аномалией формулой
.
Используя этот результат, можно определить эксцентрическую аномалию через истинную аномалию.
Через истинную аномалию Истинная аномалия — угол, обозначенный на рисунке . Иногда её также обозначают как или . Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.
Используя формулу для выше, можно выразить синус и косинус через :
Следовательно,
Угол — угол прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетами и .
Также,
Подставляя , найденный выше, в выражение для , расстояние от фокуса до точки можно найти через истинную аномалию:
,
где
называется фокальным параметром.
Через среднюю аномалию Эксцентрическая аномалия связана со средней аномалией через уравнение Кеплера:
Это уравнение не имеет аналитического решения для при данном . Оно обычно решается численными методами, например, методом Ньютона-Рафсона. Оно может быть выражено в виде ряда Фурье как
где — функция Бесселя первого рода.
Примечания
Литература Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition) Категория:Элементы орбиты