Поток средней кривизны — определённый процесс деформации гиперповерхностей в римановом многообразии, в частности для поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве.
Поток деформирует поверхность в нормальном направлении со скоростью, равной её средней кривизне. Например, сфера под действием потока сжимается в точку.
Уравнение Однопараметрическое семейство поверхностей является потоком средней кривизны, если
где и обозначают среднюю кривизну и единичный вектор нормали к поверхности в точке .
Свойства Уравнение потока является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных. В частности, это гарантирует существование решения для малых значений временного параметра. Минимальные поверхности являются критическими точками для потока средней кривизны. Обычно поток средней кривизны формирует особенность за конечное время, начиная с которой поток перестаёт быть определён.
Под действием потока замкнутая выпуклая гиперповерхность в евклидовом пространстве остаётся выпуклой. Более того, она схлопывается в точку за конечное время, и непосредственно до этого момента поверхность приближается к стандартной сфере с точностью до изменения масштаба. В общем римановом многообразии выпуклость гиперповерхности не сохраняется в потоке, даже если дополнительно потребовать положительность секционной кривизны.
См. также
Укорачивающий поток — частный случай потока средней кривизны для кривых на плоскости. Поток Риччи — близкая конструкция для деформации римановых многообразий.
Применения Поток предоставляет естественную операцию сглаживания для гиперповерхностей. В частности, даёт аппроксимацию данной -гладкой гиперповерхности аналитическими.
Литература . . . См., в частности, уравнения 3a и 3b.
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных