Постулат Бертрана (теорема Бертрана — Чебышёва, теорема Чебышёва) — в теории чисел утверждение о том, что при натуральном n > 3 между числами n и (2n − 2) существует по крайней мере одно простое число. Постулат был сформулирован как гипотеза в 1845 году Бертраном, который проверил его до .
Другие формулировки:
при любом n > 1 имеется простое число, принадлежащее интервалу (n, 2n) для n ≥ 1: pn+1 < 2pn для n ≥ 1: π(2n) − π(n) ≥ 1
В 1852 году постулат был доказан Чебышёвым. По другим источникам - в 1850 году.
В дальнейшем несколько математиков предложили более простые варианты доказательства:
Рамануджан в 1919 году доказал постулат в двухстраничной статье, отметив приоритет Чебышёва. Ученый также доказал, что количество простых чисел в интервале можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в простых числах Рамануджана достигается равенство.
Эрдёш в 1932 году
Мозер в 1949 году
Стечкин в 1968 году Генри Рикардо и Ёсихиро Танака в 2005 году, доказательство основано на гипотезе Гольдбаха, но бинарная проблема Гольдбаха в свою очередь пока не доказана
Теорема Сильвестра о простых числах (1892) обобщает постулат Бертрана: согласно её утверждению для среди чисел всегда существует число с простым делителем больше ; при оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай. Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого существует число такое, что для любых существует простое число , удовлетворяющее , более того, для фиксированного количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494., в частности, например, при всегда найдётся простое число между и — соответственно, постулат Бертрана естественным образом следует из неё.
Связанные гипотезы Гипотеза Лежандра гласит, что для любого найдётся простое число в интервале . Гипотеза Оппермана и гипотеза Андрицы задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число. Наиболее сильной является гипотеза Крамера, согласно которой: . По состоянию все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.
Примечания
Бертрана Категория:Доказанные математические гипотезы Категория:Теория простых чисел Категория:Теория чисел Категория:Гипотезы Категория:Теоремы