Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.
Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.
Определение
Пусть на плоскости даны две точки и . Рассмотрим все точки этой плоскости, для каждой из которых отношение
есть фиксированное положительное число. При эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.
Замечания
Точки и называются фокусами окружности Аполлония.
Свойства
Радиус окружности Аполлония равен Отрезок между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним. Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки и местами. Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.
О доказательствах
Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.§ 228, издание 1914 года «Элементарной геометрии Киселёва». Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.§124 «Геометрии» А. Ю. Давидова. Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.
Приложения
Часто используется в анализе построений с помощью циркуля и линейки. В частности одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.
Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.
См. также Эллиптические координаты
Похоже определяемые кривые Гипербола — кривая постоянной разности расстояний между фокусами; Эллипс — кривая постоянной суммы расстояний между фокусами; овал Кассини — кривая постоянного произведения расстояний между фокусами.
Примечания
Категория:Евклидова геометрия Категория:Окружности А