Математический папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1550 г. до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса. Написан на среднеегипетском языке иератическим письмом. Отдельные исследователи предполагают, что папирус времен XII династии мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.
Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. ШьютомLondon, The British Museum Press, 1987.. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее. Она состоит из двух частей: и . Между ними должен быть кусок примерно 18 см длиной, который был утерян. Некоторые фрагменты, которые частично заполняют этот промежуток, были обнаружены в 1922 году в музее Нью-Йоркского исторического общества..
Характеристика задач Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. Московский математический папирус, находящийся в Государственном музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, уступает папирусу Ахмеса по полноте (он состоит из 25 задач), но превосходит его по возрасту.
Во вступительной части папируса Ахмеса объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.
Вместе с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «множество» (аналога латинского , традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.
Папирус Ахмеса, как и Московский математический папирус, показывает, что древние египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа , , тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон , что верно только в частных случаях (например в прямоугольнике). Для трапеции эта формула неверна, но египтяне знали и пользовались правильной формулой. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида , где — натуральное число). В других случаях дробь вида заменялась произведением числа и аликвотной дроби , что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их.
Особенности египетской арифметики. Основные термины
Египетские термины для арифметических действий Египтяне выполняли умножение и деление через сумму, удвоение и деление пополам. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого.И. Я. Депман, История арифметики. Пособие для учителей.- М.: 1965 (издание второе, исправленное), стр. 196 Для обозначения всех указанных действий в египетском языке использовался один глагол wAH V29-V28-Y1 (условно читается «вах» или «уах» и означает «класть»; «продолжать» и т. п.). Для обозначения результата действий с числами использовался глагол xpr xpr-r (условно читается «хепер», означает «появляться») или существительное dmD d:S23-m-D-Y1 (условно читается «демедж», означает «итого»).
Искомое число обозначалось существительным aHa P6-a:M44-Y1:Z2 (условно читается «аха», означает «число», «множество»).
Арифметические действия Перед тем как оценить математические методы египтян, надо рассказать об особенностях их мышления. Они хорошо выражены в следующем высказывании: «Несмотря на то, что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне». Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян. Египтянин не говорит и не думает о числе «восемь» как об абстрактном числе, он думает о восьми хлебах или восьми овцах. Он вычисляет наклон стороны пирамиды вовсе не потому, что это интересно, а потому, что ему нужно объяснить каменщику, каким образом надо будет обтесывать камень (т. н. «священный угол» в 52 градуса — это предельная величина, на которой известняковая облицовка не срывается со ступеней пирамиды под собственным весом). Если он раскладывает на , то вовсе не потому, что это ему нравится, а просто потому, что рано или поздно он встретится с дробью при сложении, а поскольку он не знает, как складывать дроби, чей числитель больше единицы, ему потребуется приведенное выше разложение.С. Кларк, Р. Энгельбах, Строительство и архитектура в Древнем Египте. ISBN 978-5-9524-4351-8
Поскольку древние египтяне ещё не знали таблицу умножения, все вычисления были крайне громоздкими и производились в несколько этапов. Для выполнения таких операций как умножение или деление использовался следующий метод:
Умножение
Например, 22 × 60 = ? Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путём удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4, 8, 16, … Для некоторых задач для упрощения счёта первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся. Напротив единицы писалось наибольшее число из множества (в нашем примере это число 60), далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 120 (то есть 60 × 2), напротив 4 — 240 (то есть 120 × 2), напротив 8 — 480 (то есть 240 × 2), напротив 16 — 960 (то есть 480 × 2) и т. д. Наименьшее число (в нашем примере 22) разлагалось на минимальное количество чисел из первого ряда (1, 2, 4, 8, 16, …). С этой целью сначала бралось число, наиболее близкое по значению к 22, это 16, с остатком производилось аналогичное действие: 22 − 16 = 6, число из первого ряда, наиболее близкое по значение к 6 − 4, и т. д., пока сумма выбранных из первого ряда чисел не равнялась 22, то есть наименьшему в множестве числу. Получаем: Затем выбирались числа из второго ряда, которые стояли напротив выбранных нами ранее чисел из первого ряда. Из первого ряда мы выбрали 16, 4 и 2, во втором ряду им соответствуют числа 960, 240 и 120. Произведение чисел 22 и 60 равнялось сумме выбранных чисел из второго ряда, то есть
Деление Например, 30/20 = ? Сначала записывался такой ряд чисел, что каждое последующее число получалось путём удвоения предыдущего, например: 1, 2, 4, … Для некоторых задач для упрощения счёта первый ряд чисел мог начинаться с числа, отличного от единицы, однако принцип удвоения предыдущего числа для образования последующего сохранялся. Напротив единицы писалось наименьшее число, в нашем случае это 20, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число получалось удвоением предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 2 писалось 40 (то есть 20 × 2), напротив 4 — 80 (то есть 40 × 2) и т. д. Выбиралось такое число из второго ряда, которое было наиболее близко по значению к 30, то есть наибольшему числу в нашем примере. Это 20. Числу 20 в первом ряду соответствовало число 1. Эти числа запоминались. Поскольку 30 было больше чем 20 и меньше, чем 40 (то есть сумма значений чисел из второго ряда не давала 30), далее использовалось деление пополам. Для этого записывался такой ряд чисел, начиная с 1/2, что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего: 1/2, 1/4, 1/8, … Для других примеров могла быть использована другая дробь, однако принцип деления пополам предыдущего числа для образования последующего сохранялся. Напротив 1/2 писалась половина наименьшего числа (так как если бы дробь умножалась на число), в нашем случае 20/2 = 10, далее с этим числом создавалась такая же прогрессия, так что каждое последующее число было в два раза меньше предыдущего. Такой ряд чисел записывался напротив первого. Соответственно, напротив 1/4 писалось 5 (то есть 10/2) и т. д. Если делить дальше было нельзя (во втором ряду должны быть только целые числа), то при необходимости (если решение ещё не было найдено) составлялся новый аналогичный ряд с использованием таких же или других дробей (например, 5 нельзя было разделить на 2, но можно было разделить на 5), пока числа из второго ряда не выбирали остаток суммы до большего по условию задачи числа. Далее необходимо было найти такое минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме с ранее найденным числом 20 давали бы 30, то есть наибольшее число в нашем примере. Это число 10 Числу 10 из второго ряда соответствовала дробь 1/2 из первого ряда. Отношение 30 к 20 равнялось сумме выбранных чисел из первого ряда, то есть
Деление не всегда было связано с поиском дробных чисел, в этом случае подбиралось минимальное количество чисел из второго ряда, которое в сумме давало бы наибольшее данное по условиям задачи число, а решением задачи в этом случае была бы сумма соответствующих им чисел из первого ряда.
Дополнительные действия Иногда наряду с удвоением и деление пополам использовалось умножение и деление на 5 и на 10, а также на 50, 100 и т. д. (как свойство десятичной системы измерений). При операциях с дробями использовались канонические разложения дробей типа 2/n (их полагалось знать наизусть, так как они использовались очень часто, например 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18 и т. д.), а также метод «красного числа» (дополнительные числа, добавляемые к дроби для приведения её к аликвотной форме, писались красными чернилами). Этот метод использовался для больших дробей.История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под ред. А. П. Юшкевича.- М.: 1970, стр. 25 :en:Red auxiliary number Например, 2/43 необходимо было выразить суммой аликвотных дробей (так как древние египтяне использовали только дроби с числителем, равным единице). Для этого числитель и знаменатель умножались на 42 (то есть 43 — 1), получалось 84/1806. Используя тот же метод, как при умножении или делении, определялись и записывались красными чернилами делители знаменателя (1806): 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, далее выбиралось минимальное количество таких красных чисел, так чтобы их сумма была равна числителю (84), это 43, 21, 14 и 6. Наконец, дробь 2/43 записывалась как (43 + 21 + 14 + 6)/1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. Разложение было закончено.
Египетские дроби Египетские дроби передавались предлогом r, который выражает отношение. Иероглифически этот предлог передавался знаком r Например, писалась следующим образом: r:Z1*Z1*Z1*Z1 Египетские дроби были аликвотными. В порядке исключения у древних египтян было два символа для обозначения дробей и : D23 и D22 соответственно.