Присоединённое представление группы Ли — линейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается .
Определение Пусть — группа Ли. Касательное пространство в единице группы есть её алгебра Ли . Для каждого элемента рассмотрим дифференциал
внутреннего автоморфизма
Полученное действие называется присоединённым представлением.
Замечания Если — линейная группа в пространстве , то
Дифференциалом присоединённого представления группы в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.
Образ группы Ли при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы и обозначается .
Свойства Ядро содержит центр группы . Более того, в случае, когда связна и основное поле имеет характеристику , совпадает с центром. Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален. Если основное поле имеет характеристику 0 и связна, то однозначно определяется алгеброй Ли и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли . В частности, если полупроста, то совпадает со связной компонентой единицы в .
См. также Коприсоединённое представление
Литература
Категория:Группы Ли