Ве́кторное по́ле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.
Определение и вариации
Евклидово пространство Векторное поле на евклидовом (или псевдоевклидовом) пространствеВ принципе, векторное поле может быть аналогично определено не только на евклидовом или псевдоевклидовом, но и на произвольном линейном или аффинном пространстве, однако обычно пространство подразумевается всё же конечномерным, и подразумевается, что на нём определено скалярное произведение (необходимое для определения основных операций векторного анализа, таких как дивергенция, криволинейный интеграл итп); в физических приложениях это чаще всего обычное физическое трехмерное пространство или четырехмерное пространство-время. определяется как вектор-функция точки пространства, отображающая это пространство в (на) себяЭто формальное математическое определение не делает различия между основным пространством и пространством векторов поля — поскольку одни могут быть получены из других умножением на число (скаляр). С точки зрения физики между этими пространствами есть некоторое различие, поскольку вектор поля, как правило, измеряется в других единицах измерения, поэтому тождество основного пространства и пространства векторов поля до какой-то степени условно (вектор поля можно изобразить в основном пространстве, но длина этого вектора окажется условной). Однако в любом случае при обычном стандартном введении понятия векторного поля размерность этих пространств совпадает, более того, вектор поля привязан к основному пространству в том смысле, что направление вектора поля (если он не нулевой) вполне определено в пространстве, на котором поле задано, он может быть разложен по базису (или реперу) в этом основном пространстве, хотя коэффициенты разложения и окажутся не безразмерными (в смысле физических единиц) числами.:
То есть, каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор (значение векторного поля в данной точке пространства). В общем случае этот вектор различается для разных точек пространства, то есть в общем случае векторное поле принимает разные значения в разных точках пространства. В каждой точке пространства вектор поля имеет определенную величину и определенное (за исключением тех случаев, когда поле обращается в ноль) направление в этом пространствеЕсли рассматривается поле, зависящее от времени (то есть, меняющееся со временем), то подразумевается, что оно принимает конкретное определенное значение (величину и направление) в каждой точке пространства в каждый определенный момент времени (а в разные моменты времени эти значения вообще говоря различны и для одной точки)..
В литературе (особенно в более старой, а также в физической) применительно к векторному полю на некотором пространстве употребляется также предлог в (то есть говорят и поле на пространстве, и поле в пространстве).
Многообразие Как сечения В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием, векторное поле определяется как сечение касательного расслоения к данному многообразию, то есть отображение, которое каждой точке ставит в соответствие вектор из касательного пространства в .
Как оператор Векторное поле на многообразии есть линейный оператор удовлетворяющий правилу произведения:
для произвольных .
В физике В физике термин векторное поле, кроме общего значения, описанного выше, имеет специальное значение, в основном в отношении фундаментальных полей (см. ниже). Смысл этого употребления сводится к тому, что фундаментальные физические поля классифицируются по природе их потенциала, и один из таких типов — векторные поля (как электромагнитное или глюонное поля).
Обозначения
Обозначается векторное поле обычно просто в соответствии с соглашениями, принятыми для векторов
в физике для этого обычно используется прямой жирный шрифт или стрелка над буквой, например, или ; для 4-векторов — традиционна индексная запись, например ; в математической литературе в целом для векторов вообще и векторных полей в частности нет каких-то общепринятых специальных обозначений.
Нередко явно указывается зависимость от точки пространстваМожет, конечно же, при этом, если надо, быть указана добавочно и функциональная зависимость также от каких-то других параметров, например где — точка пространства, — некий дополнительный параметр (например, заряд источника)., например: где — символическое обозначение точки пространства, или где — радиус-вектор, характеризующий точку пространства.
Достаточно обычно задание векторного поля как функции координат в пространстве, на котором поле задано, например:
или (для поля, зависящего от времени):
История термина Термин поле (вместе с понятием силовых линий поля) () ввёл в физику Майкл Фарадей около 1830 г. при исследовании электромагнитных явлений.
Основы аналитической теории силовых полей разработали Максвелл, Гиббс и Хевисайд во второй половине XIX века.
Частные случаи векторных полей
Векторные поля на прямой
Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.
Векторные поля на плоскости
Если — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида
Векторные поля в трёхмерном пространстве
Если — радиус-вектор, который в заданной системе координат имеет вид , то векторное поле описывается вектор-функцией вида
В трёхмерном пространстве имеют смысл следующие характеристики векторного поля
Криволинейный интеграл
где точка означает скалярное произведение, — векторный элемент криволинейного пути, вдоль которого происходит интегрирование, — проекция на (положительную) касательную к криволинейному пути, — скалярный элемент пути (элемент длины), C — конкретная кривая — путь интегрирования (обычно полагаемая достаточно гладкой). Пожалуй, простейшим физическим прообразом такого интеграла является работа силы , действующей на точку при перемещении точки по заданному пути.
Циркуляция — интеграл по замкнутому контуру:
где подынтегральное выражение совпадает с описанным чуть выше, а отличие состоит в пути интегрирования C, который в данном случае по определению замкнут, что обозначается кружком на знаке интеграла.
Поток векторного поля через поверхность S определяется как интеграл по S:
где — проекция вектора поля на нормаль к поверхности, — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на элемент площади . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.
Производная Аналогом производной для векторного поля выступает тензор частных производных (якобиан), который в декартовых координатах имеет вид
Дивергенция — след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле
Это же выражение можно записать с использованием символического оператора набла:
Теорема Остроградского — Гаусса позволяет вычислить поток векторного поля с помощью объёмного интеграла от дивергенции поля.
Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами
где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.
Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:
Градиент — важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:
или, записывая с помощью наблы:
Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).
Имеет место теорема Гельмгольца: если всюду в области D у векторного поля определены дивергенция и ротор, то это поле может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального поля.
Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.
Векторные линии
Интегральной кривой (также — векторной линией, для силовых полей — силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа — линией тока; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля называется кривая , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:
Для силовых полей силовые линии наглядно показывают направление воздействия полевых сил.
Если в достаточно малой области пространства поле нигде не обращается в нуль, то через каждую точку этой области проходит одна и только одна силовая линия. Точки, где вектор поля нулевой — особые, в них направление поля не определено, и поведение силовых линий в окрестности этих точек может быть различным: возможно, через особую точку проходит бесконечно много силовых линий, но возможно, что не проходит ни одна.
Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены на всём многообразии.
Векторные поля в n-мерном пространстве
Все перечисленные для векторных полей в трёхмерном пространстве конструкции и свойства непосредственно обобщаются на любую конечную размерность пространства n.
При этом большинство таких обобщений вполне тривиальны, за исключением определения ротора, для корректного построения которого в произвольном n-мерном случае, в отличие от трёхмерного, приходится воспользоваться внешним, а не векторным (которое определено лишь для трёхмерного случая) произведением. При n = 2 соответствующая операция принимает вид псевдоскалярного произведения.
Кроме того, в случае произвольного n нужна определённая аккуратность c определением потока. Основные определения оказываются полностью аналогичными для потока через гиперповерхность размерности (n − 1).
Физические примеры
В физике типичными примерами векторного поля являются силовые поля (силовое поле — поле некоторой силы (зависящей от положения в пространстве тела, на которое эта сила действует) или тесно связанной с силой напряжённости поля).
Другие типичные примеры — поле скорости (например, скорости течения жидкости или газа), поле смещений (например, в деформированной упругой среде) и многие другиеЭти примеры могут быть более фундаментальными или менее, но в принципе практически любая векторная физическая величина, зависящая от координат, может рассматриваться как векторное поле., например, вектор плотности тока, вектор потока энергии или плотности потока каких-то материальных частиц (например, при диффузии), вектор градиента температуры, концентрации или давления и так далее.
Несколько подробнее: Электромагнитное поле. Это физическое поле даёт несколько примеров векторных полей (вообще говоря — зависящих от времени) в старом трёхмерном смысле: поле вектора напряженности E, поле вектора магнитной индукции, векторный потенциал (трёхмерный); также векторными полями в математическом смысле являются такие их функции, как, например, вектор Пойнтинга. Электромагнитное поле является примером векторного поля и в более современном (четырёхмерном) смысле, как это несколько подробнее описано ниже (см. также Электромагнитный потенциал). Частный случай электромагнитного поля — электростатическое поле — даёт один из простейших и важнейших примеров векторного поля (трёхмерным векторным полем, не зависящим от времени, в электростатике является напряжённость электрического поля).