Мера Малера для многочлена с комплексными коэффициентами определяется как
где разлагается в поле комплексных чисел на множители
Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел для на единичной окружности (т.е. ):
В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа определяется как мера Малера минимального многочлена от над . В частности, если является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто .
Мера Малера названа в честь математика .
Свойства
Мера Малера является мультипликативной: где — квантор всеобщности. , где среднее степенное является нормой для многочлена Хотя это не является истинной нормой для значений .. () Если является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с , то либо , либо является круговым многочленом. () Если существует константа , такая, что если является неприводимым целочисленным многочленом, то либо , либо . Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.
Мера Малера от нескольких переменных
Мера Малера для многочлена с несколькими переменными определяется аналогичной формулой.
Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.
Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и -функций. Например, в 1981 Смит доказал формулы
где является L-функцией Дирихле, и , где является дзета-функцией Римана. Здесь называется логарифмической мерой Малера.
Теорема Лоутона
По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. ). Если обращается в ноль на торе , то сходимость интеграла, определяющего , не очевидна, но известно, что сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной, что было высказано в виде гипотезы .
Пусть обозначает целые числа, определим . Если является многочленом от переменных и , то пусть многочлен от одной переменной определяется как
а — как
,
где .
Теорема (Лоутона): пусть является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие ):
Предложение Бойда
Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных.
Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида
где — круговой многочлен степени m, — целые числа, а выбран минимальным, так что является многочленом от . Пусть — множество многочленов, являющихся произведением одночленов и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.
Теорема (Бойда): пусть является многочленом с целыми коэффициентами — тогда только когда является элементом .
Это натолкнуло Бойда на мысль рассмотреть следующие множества:
и объединение . Он выдвинул более «продвинутую» гипотезу, что множество является замкнутым подмножеством . Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита вытекает, что , Бойд позже высказал гипотезу, что
См. также
Высота многочлена
Примечания
Литература
.
Ссылки
Mahler Measure on MathWorld Jensen's Formula on MathWorld
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Многочлены