Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.
Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка. Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:
где означает матрицу в степени , а — единичную матрицу той же размерности.
Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера :
Например, пусть — стандартная матрица Паули:
Тогда
Можно вычислить и кардинальный синус:
Свойства Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:
Если является диагональной матрицей, и также являются диагональными матрицами, причём и , то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.
Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрицы коммутируют, то есть :
Другие функции Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:Scilab trigonometry . (см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм, Квадратный корень из матрицы)
и так далее.
Примечания
Категория:Тригонометрия Категория:Функции от матриц