Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.
Формулировка Пусть конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для выполняется в точности одно из следующих утверждений Либо почти разрешима, то есть содержит разрешимую подгруппу конечного индекса. Либо содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
Следствия Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу. Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп. Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста.
Вариации и обобщения Говорят, что группа удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что конечно порождена.
Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также: Гиперболические группы Группа классов преобразований поверхности
Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса: Группа Григорчука; Группа F Томпсона.
О доказательстве В доказательстве рассматривают замыкание группы в топологии Зарисского. Если разрешима, то и группа разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа в компоненте Леви . Если она некомпактна, то завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе корни единицы, а значит, образ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.
См. также Альтернатива Жиса — Маргулиса
Примечания
Ссылки
Категория:Геометрическая теория групп