Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.
Формулировка Предположим есть -мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и . Обозначим через минимальное расстояние от до границы .
Тогда функция
монотонно возрастает в интервале ; здесь обозначает -мерную площадь и — шар радиуса с центром в .
Следствия
Для , и как в формулировке выполняется неравенство
при ; здесь обозначает объём единичного шара в -мерном евклидовом пространстве. Более того, если является точкой самопересечения то
при .
Применения Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной. Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология