Фактор графа G — это остовный подграф, то есть подграф, имеющий те же вершины, что и граф G. k-фактор графа — это остовный k-регулярный подграф, а k-факторизация разбивает рёбра графа на непересекающиеся k-факторы. Говорят, что граф G k-факторизуем, если он позволяет k-разбиение. В частности, множество рёбер 1-фактора — это совершенное паросочетание, а 1-разложение k-регулярного графа — это рёберная раскраска k цветами. 2-фактор — это набор циклов, которые покрывают все вершины графа.
1-факторизация Если граф 1-факторизуем (то есть имеет 1-факторизацию), то он должен быть регулярным графом. Однако не все регулярные графы являются 1-факторизуемыми. k-регулярный граф является 1-факторизуемым, если его хроматический индекс равен k. Примеры таких графов: Любой регулярный двудольный граф. С помощью теоремы Холла о свадьбах можно показать, что k-правильный двудольный граф содержит совершенное сочетание. Можно тогда удалить совершенное паросочетание и (k − 1)-регулярный двудольный граф и продолжить тот же процесс рекурсивно. Любой полный граф с чётным числом вершин (см. ниже). Однако имеются k-регулярные графы, хроматический индекс которых равен k + 1, и эти графы не 1-факторизуемы. Примеры таких графов: Любой регулярный граф с нечётным числом вершин. Граф Петерсена.
Полные графы
1-факторизация полного графа соответствует разбиению на пары в круговых турнирах. 1-факторизация полных графов является специальным случаем теоремы Бараньяи, относительно 1-факторизации полных гиперграфов.
Один из способов построения 1-факторизации полного графа: все вершины, кроме одной, располагаются на окружности, образуя правильный многоугольник, а оставшаяся вершина помещается в центр окружности. При этом расположении вершин процесс построения 1-фактора заключается в выборе ребра e, соединяющего центральную вершину с одной из вершин на окружности, затем выбираются все рёбра, перпендикулярные ребру e. 1-факторы, построенные таким образом, образуют 1-факторизацию графа.
Число различных 1-факторизаций равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … ().
Гипотеза об 1-факторизации Пусть G — k-регулярный граф с 2n вершинами. Если k достаточно велико, известно, что G должен быть 1-факторизуем: Если , то G является полным графом , а потому 1-факторизуем (см. выше). Если , то G можно получить путём удаления совершенного паросочетания из . Снова G является 1-факторизуемым. Четвинд и Хилтон показали, что при граф G 1-факторизуем. Гипотеза об 1-факторизации; ; ; является давно выдвинутой гипотезой, утверждающей, что значение достаточно велико. Точная формулировка: Если n нечётно и , то G 1-факторизуем. Если n чётно и , то G 1-факторизуем. заключает в себе гипотезу об 1-факторизации.
Совершенная 1-факторизация Совершенная пара 1-факторизаций — это пара 1-факторов, объединение которых даёт гамильтонов цикл.
Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, имеющая свойство, что любая пара 1-факторов является совершенной парой. Совершенная 1-факторизация не следует путать с совершенным паросочетанием, которое также называют 1-фактором.
В 1964 году Антон Котциг высказал предположение, что любой полный граф , где , имеет совершенную 1-факторизацию. Известно, что следующие графы имеют совершенные 1-факторизации:
Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое (Андерсон и Накамура, независимо), Бесконечное семейство полных графов , где p — нечётное простое спорадически другие графы, включая , где . Более свежие результаты представлены здесь.
Если полный граф имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф также имеет совершенную 1-факторизацию.
2-факторизация Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k-регулярным для некоторого целого k. Юлиус Петерсен показал в 1891, что это необходимое условие является также достаточным — любой 2k-регулярный граф является 2-факторизуемым, § 9, стр. 200; , стр. 113, Теорема 9.9; См. доказательство в книге , стр. 49, Следствие 2.1.5.
Если связный граф является 2k-регулярным и имеет чётное число рёбер, он также может быть k-факторизуем путём выбора двух факторов, являющихся чередующимися рёбрами эйлерова цикла . Это относится только к связным графам, несвязные контрпримеры содержат несвязное объединение нечётных циклов или копий графа K2k+1.
Примечания
Литература
.
. .
Литература для дальнейшего чтения
Категория:Теория графов