Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем у любого натурального числа, меньшего чем оно.
История Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако, по мнению математика , они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число..
Примеры В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (). номер Сверхсоставное разложение на простые число делителей разложение на праймориалы 1 1 1 2 2 2 3 4 3 4 6 4 5 12 6 6 24 8 7 36 9 8 48 10 9 60 12 10 120 16 11 180 18 12 240 20 13 360 24 14 720 30 15 840 32 16 1260 36 17 1680 40 18 2520 48 19 5040 60 20 7560 64 21 10080 72 22 15120 80 23 20160 84 24 25200 90 25 27720 96 26 45360 100 27 50400 108 28 55440 120 29 83160 128 30 110880 144 31 166320 160 32 221760 168 33 277200 180 34 332640 192 35 498960 200 36 554400 216 37 665280 224 38 720720 240
Разложение на простые В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.
По основной теореме арифметики каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые:
где простые, и степени положительные целые числа. Число делителей числа можно выразить следующим образом:
Таким образом, для сверхсоставного числа выполняется следующее Числа являются первыми простыми числами. Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть . Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов. За исключением двух особых случаев n = 4 и n = 36, последняя степень равна единице. В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.
Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.
Асимптотический рост и плотность Существуют постоянные a и b, обе больше чем 1, такие, что
Где обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных .
Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал в 1988 году.
Известно также, что
и
Свойства Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.
Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10; первый контрпример это , это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.
См. также Высокототиентное число Таблица делителей Функция Эйлера
Примечания
Литература (online )
Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
Ссылки Алгоритм вычисления высшей степени составных чисел Первые 10000 высшей степени составных чисел в качестве факторов Flammenkamp ахим, первый 779674 ГКН с Сигма,Тау, факторы Онлайн Сильно Составные Числа Калькулятор
Категория:Целочисленные последовательности