Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.
Определения
Меры
Напомним, что в произвольном метрическом пространстве обозначает шар с центром и радиусом .
Ненулевая мера на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная такая, что
для всех и .
Метрические пространства
Метрическое пространство удовлетворяет свойству удвоения, если существует постоянная , такая, что любой шар радиуса в можно покрыть шарами радиуса .
Замечания Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус не превышает некоторой положительной константы .
Свойства
Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения. И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.
(Теорема Ассуада) Пусть метрическое пространство удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого , пространство допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.12.2. в
Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна. А именно, если — метрическое пространство со свойством удвоения и и — банахово пространство, то любое -Липшицево отображение продолжается до -Липшицева отображения , где константа зависит только от параметра в свойстве удвоения.4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
Лемма Витали о покрытиях применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения.
Если — пространство со свойством удвоения, то существует функция , такая, что любой шар радиуса в можно покрыть шарами радиуса . Более того, можно предположить, что
для некоторых констант и . При этом точная нижняя грань называется размерностью Ассуада пространства .
Примеры Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна , где обозначает размерность. Eвклидова плоскость удовлетворяет свойство удвоения с константой . Размерность евклидова пространства совпадает с его размерностью Ассуада.
Примечания
Литература
Категория:Метрическая геометрия Категория:Геометрическая теория меры Категория:Математические свойства